Question

一道初升高衔接数学题。

设a，b是方程2x²-4mx+2m²+3m-2=0的两个实数根，当m为和值时，a² +b²有最小值？并求出最小值？
求为什么，和步骤。

Answer 1

解：
∵a，b是方程2x²-4mx+2m²+3m-2=0的两个实数根
∴Δ=(-4m)²-4×2×(2m²+3m-2)≥0
得：m≤2/3
由韦达定理得：
a+b=2m，ab=(2m²+3m-2)/2
∴a²+b²=2(m-3/4)²+7/8=2(3/4-m)²+7/8
∵m≤2/3
∴3/4-m≥3/4-2/3＞0
∴当m=2/3时，a²+b²取得最小值为：2×(3/4-2/3)²+7/8=8/9

Answer 2

因为a、b为实数根，所以(-4m)²-4*2*(2m²+3m-2)>=0,解得m<=2/3.
另一方面，a²+b²=(a+b)²-2ab,
其中a+b=4m/2;ab=(2m²+3m-2)/2
解得a²+b²=2*(m-3/4)²+7/8.
根据之前的m的条件约束，当m=2/3时，有最小值为8/9.