Question

急！！！在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的正方形,侧棱PD=a,PA=PC=根号下2乘 a

在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的正方形,侧棱PD=a,PA=PC=根号下2乘 a
1.求证：PD垂直平面ABCD
2.求证:平面PAC垂直平面PBD
3.求证：角PCD为二面角P-BC-D的平面角

Answer 1

（1）根据欧股定理逆定理
2a^2=a^2+a^2
PD^2=PA^2-AD^2
所以三角形PDA为直角三角形
且PD垂直AD
同理PD垂直CD
所以PD垂直平面ABCD
（2）由于PD垂直平面ABCD
所以PD垂直AC
因为AC垂直BD
所以AC垂直平面PCD
又因为AC为平面PDA线段
所以平面PAC垂直平面PBD

（3）由于PD垂直平面ABCD
所以PD垂直BC
因为BC垂直CD
所以BC垂直平面PCD
所以BC垂直PC
因为BC垂直PC，CD
所以角PCD为二面角P-BC-D的平面角

Answer 2

解：（1）证明：∵PD=a，AD=a，PA=2a，
∴PD2+DA2=PA2，同理∴∠PDA=90°．
即PD⊥DA，PD⊥DC，∵AO∩DC=D，∴PD⊥平面ABCD．
（2）连接BD，∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC
∵PD⊥平面ABCD
∴PD⊥AC
∵PD∩BD=D
∴AC⊥平面PDB∵PBÌ平面PDB
∴AC⊥PB∴PB与AC所成的角为90°
（3）设AC∩BD=0，过A作AE⊥PB于E，连接OE
∵AO⊥平面PBD∴OE⊥PB
∴∠AEO为二面角A-PB-D的平面角
∵PD⊥平面ABCD，AD⊥AB
∴PA⊥AB在Rt△PDB中，PB=
PD2+BD2=
3a，
在Rt△PAB中，
∵S=
12PA•AB=
12•PB•AE
∴AE=
PA•ABPB=
2a•a3a=
23a，AO=
12AC=
22a
在Rt△AOE中，sin∠AEO=
AOAE=
32，∴∠AEO=60°∴二面角A-PB-D的大小为60．
（4）设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，
设球心为S，连SA、SB、SC、SD、SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为RVP-ABCD=
13•S♢ABCD•PD=
13•a•a•a=
13a3S△PAD=S△PDC=
12•a•a=
12a2
S△PAB=S△PBC=
12•a•
2a=
22a2
S♢ABCD=a2
∵VP-ABCD=VS-PDA+VS-PDC+VS-ABCD+VS-PAB+VS-PBC
13a3=
13R(S△PAD+S△PDC+S△PAB+S△PBC+S♢ABCD)13a3=
13R(
12a2+
12a2+
22a2+
22a2+a2)
∴R3(2+
2)a2=
13a3∴R=
a2+
2=
2-
22a=(1-
22)a
∴球的最大半径为（1-
22a）
（5）设PB的中点为F，∵在Rt△PDB中：FP=FB=FD
在Rt△PAB中：FA=FP=FB，在Rt△PBC中：FP=FB=FC
∴FP=FB=FA=FC=FD∴F为四棱锥外接球的球心
则FP为外接球的半径∵FP=12PB∴FP=
32a
∴四棱锥外接球的半径为32a

Answer 3

证明；PD垂直平面ABCD
因为 底面是边长为a的正方形 所以AB=BD=DC=AC PAB=PBD=BCD=PAC 所以 得PD垂直平面ABCD
又因为PA=PC PD=a 得 等边 证平面PAC垂直平面PBD
3题 请高人教吧 上面的答案我也不知道是对还是错 你检查下 不对你M我 谢谢

Answer 4

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Answer 5

100

追问

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