Question

为什么内函数的值域只是外函数的定义域的子集而已，而不是就是等于外函数的定义域啊？

我明白它，即“内函数的值域是外函数的定义域”是为了使整个复合函数有意义，可是我最不明白的是，外函数的定义域在除去内函数定义域以外的值又是靠什么得来的。就是，还有什么东西可以让它们（即内函数值域与外函数定义域）不相等呢？

Answer 1

子集是一般性的表述，当然是可以相等的，如果外函数定义域和内函数值域相等，也可以说是子集。（为什么？思考一下。提示，这里说的不是真子集，而是子集。）
这下明白为什么说是子集了吧？
数学中这样的表述很多，尤其是到了高等数学中，这种表述比比皆是。对于这种情况可以反过来理解：内函数的值域只是外函数的定义域的子集==等价于==内函数的值域范围不能超出外函数的定义域
所以进一步的可以得到这样的结论：子集含有包含和等价两种可能。
再举个例子说明：0>=0,0<=0，即零大于等于零，也可以说零小于等于零
当我们以后要怎么集合A=集合B的时候，证明方法就是先证明A包含于B，再证明B包含于A，于是就可以得到A=B
（说到这里在延伸一下，在数学中有种思想叫“算两次”，也叫fubini方法，上面这种证明方法就是属于算两次的范畴，欲深入了解可以参考上海科技出版社出版的《算两次》单墫编著）