Question

渴求lim(x→0）[(1-cosx)/x^2]的值。

Answer 1

方法1：cosx=1-2*[sin(x/2)]^2, 带入，根据 lim(x→0）sin(y)/y=1，得到最后结果为1/2
方法2：用罗必塔法则
方法3：把cosx在x=0附近做Taylor展开取头几项

Answer 2

法一：x→0时 1-cos可替换为x^2/2
lim(x→0）[(1-cosx)/x^2]=lim(x→0）x^2/2÷x^2=1/2
法二：根据洛必达法则
lim(x→0）[(1-cosx)/x^2]=lim(x→0）sinx/2x=lim(x→0）cosx/2=1/2

追问

方法一中，1-cos可替换为x^2/2是为什么？怎么想过去的 ？
方法二中，洛必达法则是高中还是大学里学到的？

追答

1-cos可替换为x^2/2是等价无穷小量替换 当x→0时1-cosx也趋于0，这时就可以替换了 学的时间有点久了推导过程我也忘了 我们老师说无穷小量替换背下来直接用就可以了
洛必达法则是大学高数或者微积分里学到的

Answer 3

lim(x→0）[(1-cosx)/x^2]
根据洛必达定则
上下同时导数
所以=lim(x→0）（sinx/2x）
再次洛必达定则
=lim(x→0）（cosx/2）
=1/2

Answer 4

lim(x→0）[(1-cosx)/x^2]
=lim(x→0）[(1/2x^2)/x^2]
=1/2