Question

已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)同时满足下列三个条件：①f(3)=-1;②对任意x,y∈(0,+∞)都有

已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)同时满足下列三个条件：①f(3)=-1;②对任意x,y∈(0,+∞)都有f(xy)=f(x)+f(y);③x>1时，f(x)<0.
⑴求f(9)、f(根号3)
⑵证明：函数f(x)在R+上为减函数
⑶解关于x的不等式f(6x)<f(x-1)-2
要过程

Answer 1

(1)
令x=y=3得f(9)=f(3×3)=f(3)+f(3)=-2
令x=y=√3得f(√3)+f(√3)=f(3)=-1
∴f(√3)=-1/2
(2)
设0＜x1＜x2，x1，x2∈R+
f(x2)=f[(x2/x1)*x1]=f(x2/x1)+f(x1)＜f(x1)
∴f(x1)＞f(x2)
∴f(x)在R+上为减函数
(3)
不等式等价于
{6x＞9(x-1)
{6x＞0
{x-1＞0
解得：1＜x＜3

Answer 2

(1) f(9)=f(3*3)=f(3)+f(3)=-2
f(3)=f(根号3*根号3)=2f(根号3)=-1 推出f(3)=-0.5
(2)
(3) f(6x)<f(x-1)-2
f(6x)<f(x-1)+(-1)+(-1)
f(6x)<f(x-1)+f(3)+f(3)
f(6x)<f(x-1)+f(9)
f(6x)<f(9(x-1))
6x>9(x-1)
x<3
综上0<x<3

Answer 3

替ls补充第二问，不能直接这么说，要是x1=1/2，x2=1，那么行不通，我觉得这个应该分段，说(0，1)和(1，正无穷)，这两段都是递减，而第一段的最小值大于第二段最大值，这样说比较合理，考虑修改一下吧

Answer 4

uhug好\(^o^)/~vghctufvjhcvhj