Question

求助难题：已知向量a=(sinx+cos(x+α),sin(x+β)),b=(sinx-cos(x+α),sin(x+β)),设f(x)=a×b（x属于R）

若α和β满足0≤α≤β≤π，是否存在这样的α和β，使f（x）的值与为常数（与x无关）？
存在请求出α和β的值
不存在请说明理由

Answer 1

f(x)=a×b=sin²x-cos²(x+α)+sin²(x+β)
=sin²x+(sinxcosβ+cosxsinβ)²-(cosxcosα-sinxsinα)²
=sin²x+sin²xcos²β+cos²xsin²β+2sinxcosxsinβcosβ-(cos²xcos²α-2sinxcosxsinαcosα+sin²xsin²α)
=sinx²(1+cos²β-sin²α)+cos²x(sin²β-cos²α)+(1/2)sin2x(sin2β+sin2α)
=sinx²(1+cos²β-sin²α-sin²β+cos²α)+(1/2)sin2x(sin2β+sin2α)+sin²β-cos²α
=sinx²(1+cos2β+cos2α)+(1/2)sin2x(sin2β+sin2α)+sin²β-cos²α
要使使f（x）的值与为常数
只需1+cos2α+cos2β=0 (1)
sin2α+sin2β=0 (2)
由(2) 2sin(α+β)cos(α-β)=0 sin(α+β)cos(α-β)=0 (3)
由(1) 2cos(α+β)cos(α-β)=-1 cos(α+β)cos(α-β)=-1/2 (4)
cos(α-β)=0对(4)不成立，所以sin(α+β)=0
∵0≤α≤β≤π
∴ 0≤α+β≤2π 0≤ β-α≤π
∴α+β=0, 2π 或 π, (5)
代入cos(α+β)=±1入(4) cos(β-α)=±1/2
∴β-α=π/3, 或2π/3 (6)
联立(5)(6) 解得
满足条件的仅有α=π/6 β=5π/6
希望能帮到你，祝学习进步O(∩_∩)O

Answer 2

α=β=π/3
相乘之后展开，sin^2 x和cos^2 x 前的系数相等， sinxcosx前的系数为零就可得到