Question

定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且x属于（0,1）时f(x)=2^x/(4^x+1)

(1)求f(x)在[-1,1]上的解析式；（2）判断f(x)在（0,1）上的单调性，并给予证明。
请回答者给予详细的求解过程，谢谢！

Answer 1

令x∈(-1, 0)则 -x∈（0,1），所以 f(-x) = 2^-x/(4^-x+1) = 2^x/(4^x+1)
f(x)为奇函数，所以f(-x) = 2^-x/(4^-x+1) = 2^x/(4^x+1) = -f(x)
f(x) = -2^x/(4^x+1)
x=0时，由于奇函数，所以f(0) = 0
x = 1和x=-1时，由于周期为2所以f(1) = f(-1)另外还是奇函数，所以f(-1) = -f(1) = f(1)
因此f(1) = f(-1) = 0
f(x)在[-1,1]上的解析式就是
-2^x/(4^x+1) x∈(-1, 0)
f(x) = 2^x/(4^x+1) x∈(0, 1)
0 x = -1, 0, 1

(2)单调性f(x) = 2^x/(4^x+1) x∈（0,1）令 t = 2^x 则t∈(1，2)，且t的对x单调递增
原式化为 f(t) = t/(t^2+1)
学过导数的话可以直接求导了， f'(t) = (t^2+1-2t^2)/(t^2+1)^2 = (1-t^2)/(t^2+1)^2< 0
所以在（0,1）上单调递减
如果没有学过导数，则选t'>t f(t') - f(t) = t'/(t'^2+1) - t/(t^2+1) = ( tt'-1)(t-t')/(t^2+1)(t^2+1) <0
所以随着t增大f(t)减小，单调递减