高一数学关于函数单调性的题目

设f(x)=根号(x²+1)-ax,当a∈【1,+∞】,证明函数f(x)在[0,+∞]上是单调减函数详细过程不回答就一边去... 设f(x)= 根号(x²+1) - ax,当a∈【1,+∞】,证明函数f(x)在[0,+∞]上是单调减函数

详细过程
不回答就一边去
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看天气识云
2011-07-13 · TA获得超过337个赞
知道答主
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在要证的单调区间里取x1与x2,且x1小于x2,则f(x1)-f(x2)=根号(x1平方+1)-根号(x2平方+1)-ax1+ax2=(x1平方-x2平方)/[根号(x1平方+1)+根号(x2平方+1)]-a(x1-x2)=(x1-x2)[(x1+x2)/(根号(x1平方+1)+根号(x2平方+1))-a],由于x1+x2小于根号(x1平方+1)+根号(x2平方+1),所以(x1-x2)[(x1+x2)/(根号(x1平方+1)+根号(x2平方+1))小于1,而a是不小于1的,所以其差小于0,又x1-x2小于0,所以f(x1)大于f(x2),因此原题得证。
注意解题过程中用到了作差法,有理化分子,分解因式等。
宇文仙
2011-07-12 · 知道合伙人教育行家
宇文仙
知道合伙人教育行家
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一个数学爱好者。

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f(x)=√(x²+1)-ax
f'(x)=x/√(x²+1)-a

因为要讨论的是在[0,+∞]上的单调性
所以x>0
所以0<x/√(x²+1)<1
而a∈【1,+∞】
那么显然f'(x)<0

所以函数f(x)在[0,+∞]上是单调减函数

如果不懂,请Hi我,祝学习愉快!
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powerstone_83
2011-07-12 · TA获得超过2265个赞
知道小有建树答主
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楼上的,人家才高一..
设x1>x2,
f(x1)-f(x2)=sqrt(x1^2+1)-sqrt(x2^2+1)-a(x1-x2)
假设x1-x2=t>0
f(x1)-f(x2)=sqrt(x1^2+1)-sqrt((x1-t)^2+1)-at<sqrt(x1^2+1)-sqrt((x1-t)^2+1)-t (1)
(sqrt(x1^2+1)-t)^2=t^2+x1^2+1-2t*sqrt(x1^2+1)
(x1-t)^2+1=t^2+x1^2+1-2t*x1, 2t*sqrt(x1^2+1)>2t*x1
所以(sqrt(x1^2+1)-t)^2<(x1-t)^2+1 (2)
(2)等号两边括号里显然都是正的,所以开方有sqrt(x1^2+1)-t<sqrt((x1-t)^2+1) (3)
(3)带入(1) 得f(x1)-f(x2)<0
得证
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qq130069859
2011-07-14 · TA获得超过298个赞
知道答主
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高一不会求导的话,用定义法:对任意的x2和x1,其中0<x1<x2,计算f(x2)-f(x1),代入f(x1)和f(x2)计算,说明结果小于0就行了,中间用到两步关键的:

根号(x1²+1)-根号(x2²+1)=(x1+x2)(x1-x2)/(根号(x1²+1)+根号(x2²+1))其实就是平方差公式

提出公因式(x1+x2),然后利用x1<根号x1²<根号(x1²+1),x2<根号x2²<根号(x2²+1)
得出(x1+x2)/(根号(x1²+1)+根号(x2²+1))<1<a

打字累死了,给分吧!
7月j3
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崔璨的爸爸
2011-07-12 · TA获得超过403个赞
知道小有建树答主
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这道题目很简单吗,求导不就可以了。
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