Question

如何用换元法算根号根号(1-X平方) X属于0到1的定积分

设x=sint,dx=costdt,x=0,t=0,x=1,t=π/2，
∫[0,1]√(1-x^2)dx=∫[0，π/2]cost*costdt （根号怎么约去的 ） =∫[0，π/2](cost)^2dt=(1/2)∫[0，π/2](1+cos2t)dt
=[0，π/2](t/2)+(1/4)[0,π/2]sin2t=π/4. 补充：(cost)'=-sint.

Answer 1

令√(1-x^2)=cost，则(1-x^2)=cost^2可推得x=sint，dx=costdt。可得∫[0,1]√(1-x^2)dx=∫[0，π/2]cost*costdt

Answer 2

√(1-x^2)=√(1-sin^2t)=√cos^2t=cost

追问

再仔细看看题

追答

你就是问根号怎么约去的啊。我不是给出了吗？你的t范围是[0，π/2]，直接开根号。

这是一个基本公式：∫1/√(1-x^2)dx＝arcsinx+C

追问

可是上面明明是∫[0，π/2]cost*costdt

追答

是啊，我只换的是√(1-x^2)=cost，还有dx=costdt，两者一相乘不是
√(1-x^2)dx＝cost*costdt
还有疑问吗？

追问

dx也能设吗？ 我数学完了！

追答

你这是换元啊，不但要换被积函数，也要换微元。