Question

中值定理与等式证明

设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，证明：至少存在一点x，使 [bf(b)-af(a)]/（b-a）=f(x)+xf'(x)

Answer 1

从最后的结果看，对xf(x)用中值定理即可。
设F(x)＝xf(x)，则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，由拉格朗日中值定理，至少存在一点ξ，使得(F(b)-F(a))/(b-a)＝F'(ξ)。因为F'(x)＝f(x)＋xf'(x)，所以[bf(b)-af(a)]/(b-a)=f(ξ)+ξf'(ξ)

Answer 2

构造g(x)=xf(x)根据拉格朗日中值定理存在一个m使得g(b)-g(a)=g'(m)(b-a)其中g'(m)=f(m)+mf'(m)不要用x因为有歧义。 b-a除过去命题得证。

Answer 3

先说证明不等式
先设一个跟题设有关的函数
然后把拉格朗日中值定理公式表示出来
然后根据选取的那个值一定在题设的定义域内为限制条件
证明等式
一般就是把把拉格朗日中值定理中的函数设成与题设有关的函数即可

Answer 4

f(x)二阶可导,且f(0)=0,f(1)=1,f