求解微分方程,y'=9.81-k*y^2,其中k是常数。
对于y为一次的有公式可以解,y高次的可以考虑伯努利方程,但是此微分方程没有一次项。求数学达人解答,或者会用matlab的写出代码也成。我想两个回答都采纳!!!大牛太多了,...
对于y为一次的有公式可以解,y高次的可以考虑伯努利方程,但是此微分方程没有一次项。求数学达人解答,或者会用matlab的写出代码也成。
我想两个回答 都采纳!!!大牛太多了,真心感谢! 展开
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2个回答
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这个是可分离变量的, 为了书写方便, 记g=9.81
dy/dx=g-ky²
即:dy/(g-ky²)=dx
分类讨论:
若k>0, 则x=∫dy/(g-ky²)=1/√(gk)*∫d(y√(k/g))/(1-(y√(k/g))²)=atanh(y√(k/g))/√(gk)+C
写成x为自变量的形式为:y=tanh((x-c)√(gk))*√(g/k)
若k<0, 则x=∫dy/(g-ky²)=1/√(-gk)*∫d(y√(-k/g))/(1+(y√(-k/g))²)=arctan(y√(-k/g))/√(-gk)+C
写成x为自变量的形式为:y=tan((x-c)√(-gk))*√(-g/k)
dy/dx=g-ky²
即:dy/(g-ky²)=dx
分类讨论:
若k>0, 则x=∫dy/(g-ky²)=1/√(gk)*∫d(y√(k/g))/(1-(y√(k/g))²)=atanh(y√(k/g))/√(gk)+C
写成x为自变量的形式为:y=tanh((x-c)√(gk))*√(g/k)
若k<0, 则x=∫dy/(g-ky²)=1/√(-gk)*∫d(y√(-k/g))/(1+(y√(-k/g))²)=arctan(y√(-k/g))/√(-gk)+C
写成x为自变量的形式为:y=tan((x-c)√(-gk))*√(-g/k)
追问
感谢你的回答!k是正的,我想问下atanh是什么意思?
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y=dsolve('Dy=9.81-k*y^2','t')
y =
(3*109^(1/2))/(10*k^(1/2))
-(3*109^(1/2))/(10*k^(1/2))
(3*109^(1/2)*tan(-30*109^(1/2)*k^(1/2)*(C3 - t/100)*i))/(10*(-k)^(1/2))
matlab maple引擎计算如下
y=dsolve('Dy=9.81-k*y^2','t')
y =
3/10*tanh(3/10*k^(1/2)*109^(1/2)*t+3/10*k^(1/2)*109^(1/2)*C1)/k^(1/2)*109^(1/2)
y =
(3*109^(1/2))/(10*k^(1/2))
-(3*109^(1/2))/(10*k^(1/2))
(3*109^(1/2)*tan(-30*109^(1/2)*k^(1/2)*(C3 - t/100)*i))/(10*(-k)^(1/2))
matlab maple引擎计算如下
y=dsolve('Dy=9.81-k*y^2','t')
y =
3/10*tanh(3/10*k^(1/2)*109^(1/2)*t+3/10*k^(1/2)*109^(1/2)*C1)/k^(1/2)*109^(1/2)
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