Question

a,b,c为正实数，a^2+b^2+c^2=9,求证abc+1>3a

Answer 1

正确的题应该是：设正实数a、b、c,满足a≤b≤c,且a^2+b^2+c^2=9.证明:abc+1>3a

证明：因为2bc=b^2+c^2-(c-b)^2,所以在a固定的时候(c-b)^2越大则bc越小，因为a≤b≤c，所以当b=a，c²=9-2a²时bc有最小值，即bc≥a√9-2a²，于是abc+1≥1+a²√9-2a²，若a√9-2a²≥3，则abc+1≥1+a²√9-2a²≥1+3a＞3a，命题显然成立，若a√9-2a²＜3，即a²(9-2a²)＜9，则a²＞3或a²＜3/2，但9=a²+b²+c²≥3a²，即有a²≤3，于是只能取a²＜3/2，于是√9-2a²＞√6，于是abc+1≥1+a²√9-2a²＞1+√6a²≥2*[(6)^1/4]a＞3a(因为96＞81)，即a√9-2a²＜3时命题也成立，于是命题成立，证毕。
祝愉快O(∩_∩)O~