Question

已知函数f(x)=1/2x^2+lnx+(a-4)x

在（1，正无穷）上是增函数
（1）求实数a的取值范围
（2）设g(x)=e^(2x)-2ae^x+a,x∈[0,ln3],求函数g(x)的最小值
ps:重点是第二问

Answer 1

解：（1）f(x)=1/2x^2+lnx+(a-4)x
f'(x)=x+1/x+(a-4)
=[x^2+(a-4)x+1]/x
令y=x^2+(a-4)x+1的对称轴x=(4-a)/2≥1得a≤2
(2)令t=e^x,则t∈[1,3]
y=g(x)可化为y=(t-a)^2+a-a^2 t∈[1,3]
当a∈(-∞,1]时，g(x)min=1-a
当a∈(1,3)时，g(x)min=a-a^2
当a∈[3,+∞)时，g(x)min=9-5a

追问

第一问不对吧
这个对称轴对嘛?

追答

函数f(x)=1/2x^2+lnx+(a-4)x在（1，+∞）上为增函数，则 f'(x)=[x^2+(a-4)x+1]/x＞0在（1，+∞）
恒成立
由于x＞0,则只需考虑y=x^2+(a-4)x+1≥0在（1，+∞）恒成立
则x=-(a-4)/2≤1且1^2+1*（a-4)+1≥0
解得a∈{2}

Answer 2

解：
（1）f'(x)=x+1/x+(a-4)
显然f'(x)在x>1时是增函数，要使函数f(x)在x>1时是增函数，只要满足f'(x)>=0
所以只要满足f'(1)>=0
所以a>=2
（2）
当2<=a<=3时，e^x才可能和a相等，也就是|e^x-a|取得最小值0，这时g(x)的最小值为a^2/2
当a>3时，总有e^x<a，所以g(x)=a-e^x+a^2/2,这时最小值为a-3+a^2/2

Answer 3

第2问要用换把元法，然后就是常规的2次函数动轴定区间讨论啦