Question

已知二次函数y=x2+mx+m-2 （1）当抛物线与x轴交点间距离为2跟号2时，抛物线的解析式

（2）求抛物线与x轴两交点间的最小距离，并求出此时抛物线的解析式

思路要清晰 谢谢

Answer 1

1、
设函数y=x^2+mx+m-2与x轴的交点横坐标为x1、x2，且x1<x2
则x2-x1=2根号2
又有x1+x2=-m
x1*x2=m-2
解得：m=0或者m=4。
y=x^2-2或者y=x^2+4x+2
2、
设函数y=x^2+mx+m-2与x轴的交点横坐标为x1、x2，且x1<x2
(x2-x1)^2=(x2+x1)^2-4x1x2
=m^2-4(m-2)
=m^2-4m+8
函数u=m^2-4m+8在对称轴处取得最小值。
对称轴为m=-(-4)/2=2
此时u=2^2-4*2+8=4>0（如果小于零那么就取零值时的m值）
所以当函数与x轴交点间距离最小时候，函数解析式为：
y=x^2+2x

Answer 2

解 （1） 因为抛物线与x轴交点间距离为2跟号2
所以|x1-x2|=2跟号2
所以|(x1+x2)^2-4x1x2|=8
由伟达定理得|m^2-4(m-2)|=8 所以m=0或4
（2）d=|x1-x2|=根号（|(x1+x2)^2-4x1x2|）=根号（m^2-4(m-2)）=根号（（m-2）^2+4）<=2
此时m=2，d最小为2