Question

判断函数f(x)=x+x分之一在（1,正无穷大）上的单调性，并证明你的结论

Answer 1

任取x1，x2在f（x）定义域里面且1<x1<x2
f（x1）- f（x2）=x1+1/x1-(x2+1/x2)
=x1-x2+1/x1-1/x2
=x1-x2+(x2-x1)/(x1*x2)
=x1-x2-(x1-x2)/(x1*x2)
=(x1-x2)(1-1/x1*x2)
=(x1-x2)[(x1*x2-1)/x1*x2]
因为x1<x2
所以(x1-x2)<0
1<x1<x2
所以x1*x2-1>0, x1*x2>1
所以f（x1）- f（x2）<0
即函数f(x)=x+1/x在定义域（1,正无穷大）是增函数
当然还可以用求导方法解决

Answer 2

是单调递增函数
f(x)=x+ 1/x （1,正无穷大）
f(x+1)=x+1+ 1/（x +1）（1,正无穷大）
f(x+1)-f(x)=x+1+ 1/（x +1）-（x+ 1/x）
=1- 1/[x（x+1)]
因为 X ＞1，所以 x（x+1)＞2
所以1/[x（x+1)]＜1
所以1- 1/[x（x+1)]＞0
因此，f(x)是单调递增函数

Answer 3

递增！！！
因为： 方法1：求导 f'(x)=1-1/(x的平方),因为1/(x的平方)在（1,正无穷大）上小于1，所以f'(x)=1-1/(x的平方)在（1,正无穷大）上大于0，即f(x)=x+x分之一在（1,正无穷大）上递增
方法2：可以通过不等式和画图相结合来证明，它是一个打勾函数

Answer 4

求导f（x）"=1-1/x^2
因为x>1
所以f（x）">0
所以f(x)=x+x分之一在（1,正无穷大）上递增

Answer 5

函数在r上为减函数，证明：由题意得该函数的导函数g(x)=一3x平方一1，因为一3小于0，所以g(x)函数图相开口向下，又因为b平方4ac=
0一4(一3x一1)小于0，所以g(x)图相抛物线在x轴下方.根据导函数定义，当导函数小于0时原函数为减函数，并且导函数在r上恒小于0，所以函数f(x)在r上为减函数