Question

观察下列一列数：1，—2，—3，4，—5，—6，7，—8，—9……

（1）请写出这一列数中的第100个数和第2009个数；
（2）在前2010个数中，正数和负数分别有多少个？
（3）2011和—2011是否在这一列数中，若在，请写出它们分别是第几个数？若不存在，请说明理由。

Answer 1

1、1 3n为正数，n=33，为100，所以第100个数为100，1 3n=2009，解的n不为正整数，所以为-2009。
2、1 3n=2010，解的n=669.7，所以670（n从0开始数）个正数，2010-670=1340个负数。
3、1 3n=2001，看n有没有正整数解，有即为正，没有为负。

追问

有算式吗？

Answer 2

这列数的规律为（n*i^n）实数部分 （i为虚数，i^2=-1，i^3=-i，i^4=1）
1. 100；2009
2. 670；1340
3. 2011在这一数列中，第2011个数为(2011*i^2011)，可求得结果为2010。

追问

能把计算过程写下来吗？

追答

i^2011=i^(1+2010)=i^4
除了第一个之外，剩下的都是按3个数的规律循环，2010可整除3，即与第四个数符号相同，故第2010个数为正。

追问

第2和第3小题呢？

追答

第1题跟第3题的计算过程是一样的，可参照上面的过程计算，第二题2009/3商669余2，则除去第1个正数，以及最后的2个负数外，再加上669*2个负数以及669个正数，可以得出670和1340。
还有，第2009个数为负，刚才错了。

追问

能把第三题的答案写下来吗？不太明白

追答

除去第一个数字，剩下的都是以两负一正的规律循环的，
而i^2011=i^(1+3*670)=i^4
因为2010可以把3整除，故i^2010与i^(1+3)符号相一致，即与第四个数的符号相同，为正。