Question

微分方程特解设法

Answer 1

这里主要介绍一下二阶非齐次微分方程特解的设法

(非齐次为多项式形式的)

请见下图

Answer 2

大致与微积分同时产生 。事实上，求y′＝f(x)的原函数问题便是最简单的微分方程。I.牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用现在叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。17世纪
微分方程
就提出了弹性问题，
这类问题导致悬链线方程、
振动弦的方程等等。
总之，力学、天文学、
几何学等领域的许多问题都导致微分方程。
在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，
如人口发展模型、交通流模型……。
因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的。
当初，数学家们把精力集中放在求微分方程的通解上，
后来证明这一般不可能，于是逐步放弃了这一奢望，
而转向定解问题：初值问题、边值问题、混合问题等。
但是，即便是一阶常微分方程，
初等解(化为积分形式)也被证明不可能，
于是转向定量方法（数值计算）、
定性方法，而这首先要解决解的存在性、
唯一性等理论上的问题。

Answer 3

方程（equation）是指含有未知数的等式。是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，使等式成立的未知数的值称为“解”或“根”。求方程的解的过程称为“解方程”。

通过方程求解可以免去逆向思考的不易，直接正向列出含有欲求解的量的等式即可。方程具有多种形式，如一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程等等，还可组成方程组求解多个未知数。

Answer 4

答案说：因为由叠加原理知x-1与x^2-1是非齐次方程对应的齐次方程的解。
这是为什么呢，为什么叠加原理就能得出这个结论呢？我数学底子比较薄，请各位研友指教，谢谢大家！

还有，答案后来又说因为x-1和x^2-1是非齐次方程对应的齐次方程的解，而且他们是线性无关的，于是根据线性方程通解结构得出答案为 y = C1(x-1)+C2(x^2-1)+1. 为什么后面带的是1而不是其他的东西？