Question

求函数y=log2[(x^2-2x+5)/(x-1)]的值域

Answer 1

这是一个复合函数，用换元法解。
令t=x2+2x+5 则 y=log2 t
t=x2+2x+5=（x+1）² +4≥4，即t≥4.
则y=log2 t （t≥4）是递增函数， 当t=4时，y有最小值。
即y≥ log2 （4），得y≥2，
所以，所求函数值域为【2，+∞）

对于求复合函数的值域问题，利用换元法将函数形式简单，构造中间的变量t，因为只是求值域，即y的取值范围。t只作为过渡的变量。但换元后，把问题回归到初等函数的值域问题，可使问题简化。

Answer 2

y=log2[(x^2-2x+5)/(x-1)]
y=log2[(x-1)^2+4)/(x-1)]
y=log2[(x-1)+4/(x-1)]
所以仅求[(x-1)+4/(x-1)]的值域
由均值不等式可知x-1+4/x-1≥4（x=3时取=），已舍负值域
所以y=log2[(x^2-2x+5)/(x-1)]的值域为[2，+∞）

Answer 3

先求出真数的取值范围（把分子配方然后真数可变为（x-1)+4/(x-1))的范围为大于等于4，故函数的值域为大于等于2