Question

在三角形ABC中，求证 a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)<=3abc 用排序不等式证明，谢谢了啊！在线等答案啊

Answer 1

解一：排序不等式
设a≥b≥c
可知a(b+c-a)≤b(c+a-b)≤c(a+b-c),
排序不等式：倒序小于乱序
a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤ba(b+c-a)+cb(c+a-b)+ac(a+b-c)
a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤ca(b+c-a)+ab(c+a-b)+bc(a+b-c)
两式相加
2[a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)]≤ba(b+c-a)+cb(c+a-b)+ac(a+b-c)
+ca(b+c-a)+ab(c+a-b)+bc(a+b-c)
=b^2a+abc-a^2b+c^2b+abc-b^2c+a^2c+abc-c^2a+abc+c^2a-a^2c+abc+a^2b-ab^2+abc+b^2c-bc^2=6abc
所以a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)<=3abc
解二：
原式=b(a^2-b^2+c^2)+c(a^2+b^2-c^2)+a(c^2-a^2+b^2)
=2abccosB+2abccosC+2abccosA<=3abc
即证cosA+cosB+cosC<=3/2
这个很基础，证法很多，可自己百度。

Answer 2

我是应届生，高考不考选修4系列，你只了解就行了，不必太仔细

追问

我不知道你们那里是怎么样子的……我是浙江的啦，杭州的，我们有1B模块要学要考的。