Question

设ΔABC的三边长a,b,c，满足a^n+b^n=c^n(n>2)，则ΔABC是

A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.等腰直角三角形
D.不等腰的直角三角形

Answer 1

我想正确答案是：B，锐角三角形

储备知识：
△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c
若c²＞a²+b²，则∠C＞90°
若c²=a²+b²，则∠C=90°
若c²＜a²+b²，则∠C＜90°

【这可以用余弦定理证明：
余弦定理：△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c
则c²=a²+b²-2ab•cosC
若c²＞a²+b²，则c²=a²+b²-2ab•cosC＞a²+b²
即2ab•cosC＜0
cosC＜0
即 C＞90°

同理，其他的都可证明】

解：设△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c
因为 a^n+b^n=c^n，a，b，c都为正数(n＞2)
所以 c＞a，c＞b
因为三角形中，大边对大角
所以 ∠C＞∠B，∠C＞∠A，即∠C为最大角

又a^n+b^n=c^n，a，b，c都不为零
两边同除以c^(n-2)，得[a^n/c^(n-2)]+[b^n/c^(n-2)]=c²

[a^(n-2)/c^(n-2)]•a²+[b^(n-2)/c^(n-2)]•b²=c²
(a/c)^(n-2)•a²+(b/c)^(n-2)•b²=c²
因为c＞a，c＞b
所以 a/c＜1，b/c＜1
因为 n-2＞0
所以 (a/c)^(n-2)＜1，(b/c)^(n-2)＜1

所以c²=(a/c)^(n-2)•a²+(b/c)^(n-2)•b²＜a²+b²
所以 ∠C＜90°
又因为∠C为最大角
所以 △ABC是锐角三角形
而至于是否等腰或不等腰，根本无法从条件中得出

所以选B：锐角三角形

【此题还可以推广：
若a,b,c是△ABC的三条边，且a^n+b^n=c^n
当n＞2时，△ABC是锐角三角形
当n=2时，△ABC是直角三角形
当1＜n＜2时，△ABC是钝角三角形】

【希望对你有帮助】

Answer 2

a^n+b^n=c^n
c^2=(a^n+b^n)^(2/n)
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ac
=[a^2+b^2-(a^n+b^n)^(2/n)]/2ac

设b=ka
a^2+b^2-(a^n+b^n)^(2/n)=(k^2+1)a^2-a^2* (k^n+1)^(2/n)
=a^2[(k^2+1)-(k^n+1)^(2/n)]
k>0时,因为n>2时(k^2+1)^n>(k^n+1)^2
所以a^2+b^2-(a^n+b^n)^(2/n)=a^2*[(k^2+1)-(k^n+1)^(2/n)}>0
cosC<0, 最大角锐角
锐角三角形