Question

若F(X)是定义在(0,正无穷)上的增函数,且对一切X,Y∈(0,正无穷)都有F(X/Y)=F(X)-F(Y），求证F(XY)=F(X)+F(Y

急需。。。

Answer 1

F(X/Y)=F(X)-F(Y）
令x=y=1代入得
f(1)=0
令x=1代入得
f(1/y)=f(1)-f(y)=-f(y)
F(XY)=f[x/(1/y)]=f(x)-f(1/y)=f(x)+f(y)

Answer 2

f(1)=f(1/1)=f(1)-f(1)=0
f(1/y)=f(1)-f(y)=-f(y)
f(X/Y)=f(X)-f(Y）=f(x)+f(1/y)
同理得，F(XY)=F(X)+F(Y）得正

Answer 3

先令x=y=1,则f(1）=0
所以:f(XY)=f(x/1/y)=f(x)-f(1/y)=f(x)-(f(1)-f(y))=f(x)-f(1)+f(y)=f(x)+f(y)