Question

6.如图，E是矩形ABCD边CB延长线上一点， CE＝CA，F是AE的中点。 求证：BF⊥FD

Answer 1

过F点做AD 的平行线 交AB 于 G 点
则 有 FG 垂直于 AB
三角形 AFG 全等于 三角形 BFG
（全等条件： F中点 所以 G 也是重点 AG=FG 都有一直角 和 公共边FG 边角边）
所以 有 AF= BF 角FAB = 角 FBA 又得 角FAD=角FBC（都加一直角）
又 AD=BC 所以 三角形 FAD 全等于三角形 FBC (边角边)
所以 有 角 BFC= 角AFD
角AFD + 角DFC = 90 换量 角BFC+ 角DFC = 90
所以 BF 垂直 FD

Answer 2

证明：延长BF，交DA的延长线于点M，连接BD，
在矩形ABCD中
∴MD∥BC，
∴∠AMF=∠EBF，∠E=∠MAF，
又∵F是AE的中点
∴AF=EF
∴△AFM≌△EFB，
∴AM=BE，FB=FM，
∵矩形ABCD中，
∴AC=BD，AD=BC，
∴BC+BE=AD+AM，即CE=MD，
∵CE=AC，
∴AC=BD=DM，
∵FB=FM，
∴BF⊥DF．

Answer 3

证明：延长BF，交DA的延长线于点M，连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴MD∥BC，
∴∠AMF=∠EBF，∠E=∠MAF，又FA=FE，
∴△AFM≌△EFB，
∴AM=BE，FB=FM，
∵矩形ABCD中，
∴AC=BD，AD=BC，
∴BC+BE=AD+AM，即CE=MD，
∵CE=AC，
∴AC=BD=DM，
∵FB=FM，
∴BF⊥DF．

Answer 4

连接CF因为AC=CE，F是AE中点，所以CF⊥AE，BF为直角三角形AEB斜边中线，所以AF=FB,AD=BC,易证FD=FC所以三角形AFD全等于三角形BFC,所以角AFD=角BFC,所以角DFB=角DFC+角CFB=角DFC+角AFD=角AFC=90度，所以BF⊥FD