Question

若函数f(x)=(x-4)/(mx方+4mx+3)的定义域为R，则实数m的取值范围是________.

Answer 1

定义域要求分母不为零，即：mx^2+4mx+3≠0。由题意，上述式子对任意x恒成立。
则有：当m≠0时，Δ=(4m)^2-4m*3=16m^2-12m<0，解得：0<m<3/4
当m=0时，原式=3,也满足条件。
故：0≤m<3/4

Answer 2

要使函数y=（x-4）/(mx^2+4mx+3)的定义域为R
则 mx^2+4mx+3≠0 恒成立
令 f(x)=mx^2+4mx+3=m(x+2)^2+3-4m
若 m=0 f(x)=mx^2+4mx+3=3

若 m>0 函数 f(x)=mx^2+4mx+3 开口向上
要使 f(x)=mx^2+4mx+3≠0 恒成立
则 函数 f(x)=mx^2+4mx+3 的最小值应大于零
又 f(x)=mx^2+4mx+3=m(x+2)^2+3-4m》3-4m
所以 3-4m>0 m<3/4

若 m<0 函数 f(x)=mx^2+4mx+3 开口向下
要使 f(x)=mx^2+4mx+3≠0 恒成立
则 函数 f(x)=mx^2+4mx+3 的最大值应小于零
又 f(x)=mx^2+4mx+3=m(x+2)^2+3-4m《3-4m
所以 3-4m<0 m>3/4 与 m<0 矛盾 无解

综上所述 0《m<3/4