Question

如何证明|x+y|<=|x|+|y|

请问：“如何证明|x+y|<=|x|+|y|，能写出具体步骤吗？谢谢各位高手了。

Answer 1

如下所示：

以O、A、B三点为顶点画个三角形AOB，再以O为原点，OA为半径画个圆，CD是圆的直径。

当OA绕圆心旋转时，AB的值在变化，CB是AB的最大值，BD是AB的最小值，转化成x与y的关系就是|x+y|<=|x|+|y|。

相关的注意事项

这类题目通常按照一定的顺序给出一系列量，要求根据这些已知的量找出一般规律，而找出的规律通常包序列号，所以把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。

一般是先观察，有什么特点，然后依次排查几种常用的方法，比如差值，相邻的三项有什么运算关系，如果数变化剧烈，可以考虑平方、立方，还要熟悉常用的一些平方值和立方值。

Answer 2

|x+y|>0
|x|+|y|>0

故可以两边平方

|x+y|^2=x^2+2xy+y^2
(|x|+|y|)^2=x^2+2|x||y|+y^2

obviously |x||y|>=xy

so
(|x|+|y|)^2>=|x+y|^2
so
|x|+|y|>=|x+y|

Answer 3

当|x+y|最大时，x、y皆是正数，即|x+y|=|x|+|y|，如果是其他情况|x+y|<=|x|+|y|。

Answer 4

|x+y|<=|x|+|y|
xy同号时|x+y|≤|x|+|y|；xy异号时|x+y|＜|x|+|y|

Answer 5

(1)当X大于零Y大于零时．．．．．
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