Question

一元二次方程问题

当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx`-4x+4=0与x`-4mx+4m`-4m-5=0的根都是整数？

Answer 1

mx`-4x+4=0
△=16-16m≥0得m≤1
x`-4mx+4m`-4m-5=0
△=16m²-16m²+16m+20≥0得m≥-5/4
即-5/4≤m≤1
m只能取-1、0、1
因方程mx`-4x+4=0为一元二次方程，所以0不合题意
即m只能取-1或1
mx`-4x+4=0
x1+x2=4/m 得
（x1+x2）²=16/m²
x1*x2=4/m
（x1-x2）² = （x1+x2）²-4x1x2
= 16/m² -16/m
x1-x2= ( 4√ (1-m))/m
当m=-1时，x1-x2不等于整数，所以-1不合题意
当m=1时,x1-x2=0符合
x`-4mx+4m`-4m-5=0
x1+x2=4m得
（x1+x2）²=16m²
x1*x2=4m²-4m-5
（x1-x2）²=（x1+x2）²-4x1x2
=16m²-4(4m²-4m-5)
=16m+20
得x1-x2=2√(4m+5)
当m=1时，x1-x2=6符合
综上可得m=1