Question

高一数学(函数）

经过调查发现，某种新产品在投放市场的100天中，前40天，其价格直线上升，（价格是一次函数），而后60天中，其价格则呈直线下降趋势，现在抽取其中4天的价格如下表所示：
时间 第4天 第32天 第60天 第90天
价格/千元 23 30 22 7

（1） 写出价格f（x）关于时间x的函数表达式（x表示投入市场的第x天）
（2） 若销售量g(x)与时间x的函数关系是g(x)=-1/3x+109/3(1≤x ≤100,x∈N）求日销售额的最大值，并求出第几天销售额最高？
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Answer 1

某种新产品在投放市场的100天中，前40天，其价格直线上升
设直线为y=kx+b
则代入第4天 第32天
则
23=4k+b
30=32k+b
则k=0.25,b=22
所以直线方程为
y=0.25x+22

而后60天中，其价格则呈直线下降趋势
设直线为y=k1x+b1
则代入第60天 第90天
则
22=60k1+b2
7=90k1+b2
则k1=-0.5,b1=52
所以直线方程为
y=-0.5x+52
所以函数为
y=0.25x+52，0<x<=40
y=-0.5x+22, 40<x<=100

若销售量g(x)与时间x的函数关系是g(x)=-1/3x+109/3(1≤x ≤100,x∈N）
令销售额为：M=g(x)*y

M=g(x)*y, 0<x<=40
（-1/3x+109/3）*（0.25x+52）
=-1/6(x^2-317x+22672）
显然在抛物线对称轴处取得最大值，但此时1<=x<=40
在对称轴的左边，单增
所以最大值在x=40取得
则最大值为为（-1/3*40+109/3）*（-0.5*40+52）=736
M=g(x)*y，40<x<=100
则（-1/3x+109/3）*（-0.5x+22）
=-1/6(x^2-153x+4796）
显然在抛物线对称轴处x=76.5取得最大值，此时40<=x<=100
则最大为（-1/3*76.5+109/3）*（-0.5*76.5+22）
所以最大值为180.54
所以最大值在第40天取得，最大销售额为736元