Question

三角形ABC所在平面内点O、P ，满足向量OP=向量OA+入(向量AB+向量AC),则P的轨迹一定经过三角形ABC的 心

3Q 你一定会有福报的

Answer 1

三角形ABC所在平面内点O、P ，满足向量OP=向量OA+入(向量AB+向量AC),则P的轨迹一定经过三角形ABC的重心。
过程：设BC的中点为D
因为向量AB+向量AC=2向量AD
AD为三角形ABC的中线
重心在三角形的中线上
所以，入(向量AB+向量AC)过三角形的重心
因为向量OP=向量OA+入(向量AB+向量AC),
所以，点P在直线AD上
即P的轨迹为直线AD
所以P的轨迹一定经过三角形ABC的重心
希望对你有帮助，不懂还可以追问，或直接向我求助。
感谢你的祝福！

Answer 2

设O为原点，P，A，B，C坐标分别为(x,y), (xa,ya), (xb,yb), (xc,yc), 利用向量关系，可以得到

x=xa+lambda*(xb+xc-2xa)
y=ya+lambda*(yb+yc-2ya)
当 lambda=1/3 时，(x，y)即是三角形的心