Question

已知函数f(x)=(a-1)/|x|.(1)若f(x)<2x在（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围

（2）若函数y=f(x)在[m,n]上的取值是[m,n](m≠n),求实数a的取值范围

Answer 1

（1）因为X在(1,+∞),所以f(x)=(a-1)/x,f(x)<2x,所以a<2(x^2)+1,而2(x^2)+1>3，所以a<3;
(2)当m,n同时为正时，f(x)=(a-1)/x，当a-1>0时，f(x)是递减函数，即f(m)=n,f(n)=m，此时可以求出a=mn+1; 当a-1<0时，即a<1,f(x)为递增函数，即f(m)=m,a=m^2+1>1,所以此种情况不成立。
当m,n同时为负时，f(x)=(1-a)/x，当1-a>0时，f(x)为递减函数，即f(m)=n,f(n)=m,此时，a=1-mn;
当1-a<0时，即a>1,f(x)为递增函数，即f(m)=m,a=1-m^2<1，所以此种情况不成立。
而当m,n为一正一负时，即m<0<n，因为定义域包含了0点，函数f(x)在X趋进于0时，f(x)趋近于∞，而值域是[m,n]，所以此种情况不成立。
综上所述，当m,n>0时，a=mn+1>1;m,n<0时，a=1-mn<1

Answer 2

(1)G(x)=F(X)-2x=a-1/IxI-2x〈0，X∈（1，正无穷），G(X)=-2x^2+(a-1)
X大于0时G为减函数，所以G(1)〈0，a〈3
（2）F=1-a/x。X〈0
=a-1/x，x〉0
讨论M,N情况，m〈n〈0 ，m〈0〈n，0〈m〈n，