Question

设集合A={x｜4x–2x+2+a=0,x∈R}. （1）若A中仅有一个元素，求实数a的取值集合B

设集合A={x｜4x–2x+2+a=0,x∈R}.

（1）若A中仅有一个元素，求实数a的取值集合B；

（2）若对于任意a∈B，不等式x2–6x＜a(x–2)恒成立，求x的取值范围.

Answer 1

题目打错了吧，是不是4^x-2^(x+2)+a=0
解:(1)令2x=t(t>0)，设f(t)=t^2－4t+a,由f(t)=0在（0，+∞）上仅有一根或两相等实根、有
①f(t)=0有两等根时，△=0 ∴16－4a=0 解得a=4.
验证:t^2－4t+4=0 t=2∈(0,+∞)这时x=1.
②f(t)=0有一正根和一负根时，f(0)<0 ∴a<0.
③若f(0)=0，则a=0，此时4^x－2•2^x=0 ，（舍去），或2^x=4,∴x=2，此时A中只有一个元素。
∴实数a的取值集合为B={ a≤0或a=4}。
(2)要使原不等式对任意a ∈(－∞,0 ]∪ {4}恒成立，即g(a)=（x－2）a－(x^2－6x)>0恒成立。
只须x-2≤0和g(4)＞0同时成立，解得5-√17＜x≤2