Question

已知：在△ABC中，AC⊥BC，AC=BC，直线EF交AC于F，交AB于E，交BC的延长线于D，连结AD、BF，CF=CD

已知：在△ABC中，AC⊥BC，AC=BC，直线EF交AC于F，交AB于E，交BC的延长线于D，连结AD、BF，CF=CD，求证BF⊥AD

Answer 1

三角形CDF 相似于三角形EAF
DE 垂直 AB
AC，DE为三角形ABD的高线，三角形三条高线共点，所以BF是AD的高线，BF⊥AD

Answer 2

∵AC⊥BC，AC=BC
∴∠BAC=45º
∵AC⊥BC，CF=CD
∴∠CFD=45º
∴ΔAEF是等腰直角三角形
∴DE⊥AB
又AC⊥BC
根据三角形垂心性质，F是ΔABD的垂心
故 BF⊥AD

Answer 3

因为AC垂直于BD，所以角ACB=角ACD=90°。又AC=BC，CD=CF，所以三角形ACD与三角形BCF全等（边角边定理，好像是这个名字）。所以∠CAD=∠CBF，延长BF交AD于P，则∠PBD=∠CBF=∠CAD，又∠CDA=∠PDB，所以∠BPD=∠ACD=90°，证毕

Answer 4

AC⊥BC BC=AC FC=CD 知△BCF与△ACD全等 可知∠FBC=∠CAD ∠ADC共有 BF延伸至AD交点设为G点 ∠BGD=∠ACD 为直角 得证BF⊥AD