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特殊型,标准型,其它方法
卡尔丹公式法
特殊型一元三次方程
X^3+pX+q=0 (p、q∈R)
判别式Δ=(q/2)^2+(p/3)^3
卡尔丹公式
X1=(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3)
X2= (Y1)^(1/3)ω+(Y2)^(1/3)ω^2
X3=(Y1)^(1/3)ω^2+(Y2)^(1/3)ω
其中ω=(-1+i3^(1/2))/2
Y(1,2)=-(q/2)±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)
标准型一元三次方程
aX ^3+bX ^2+cX+d=0,(a,b,c,d∈R,且a≠0)
令X=Y—b/(3a)代入上式
可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3+pY+q=0
卡尔丹判别法
当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3>0时,方程有一个实根和一对共轭虚根
当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3=0时,方程有三个实根,其中有一个两重根
当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3<0时,方程有三个不相等的实根。
除了上文中的卡尔丹公式解法,一元三次方程还有其它解法,列举如下:
1.因式分解法
因式分解法不是对所有的三次方程都适用,只对一些简单的三次方程适用.对于大多数的三次方程,只有先求出它的根,才能作因式分解。当然,对一些简单的三次方程能用因式分解求解的,当然用因式分解法求解很方便,直接把三次方程降次。 例如:解方程x^3-x=0 对左边作因式分解,得x(x+1)(x-1)=0,得方程的三个根:x1=0;x2=1;x3=—1。
2.一种换元法
对于一般形式的三次方程,先将方程化为x^3+px+q=0的特殊型。 令x=z—p/3z,代入并化简,得:z^3-p/27z+q=0。再令z=w,代入,得:w^2+p/27w+q=0.这实际上是关于w的二次方程。解出w,再顺次解出z,x。
3.导数求解法
利用导数,求的函数的极大极小值,单调递增及递减区间,画出函数图像,有利于方程的大致解答,并且能快速得到方程解的个数,此法十分适用于高中数学题的解答。 如f(x)=x^3+x+1,移项得x^3+x=-1,设y1=x^3+x,y2=-1, y1的导数y1'=3x^2+1,得y1'恒大于0,y1在R上单调递增,所以方程仅一个解,且当y1=-1时x在-1与-2之间,可根据f(x1)f(x2)<0的公式,无限逼近,求得较精确的解。
4.盛金公式法
三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程,虽然有著名的卡尔丹公式,并有相应的判别法,但使用卡尔丹公式解题比较复杂,缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式,并建立了新判别法.
卡尔丹公式法
特殊型一元三次方程
X^3+pX+q=0 (p、q∈R)
判别式Δ=(q/2)^2+(p/3)^3
卡尔丹公式
X1=(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3)
X2= (Y1)^(1/3)ω+(Y2)^(1/3)ω^2
X3=(Y1)^(1/3)ω^2+(Y2)^(1/3)ω
其中ω=(-1+i3^(1/2))/2
Y(1,2)=-(q/2)±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)
标准型一元三次方程
aX ^3+bX ^2+cX+d=0,(a,b,c,d∈R,且a≠0)
令X=Y—b/(3a)代入上式
可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3+pY+q=0
卡尔丹判别法
当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3>0时,方程有一个实根和一对共轭虚根
当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3=0时,方程有三个实根,其中有一个两重根
当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3<0时,方程有三个不相等的实根。
除了上文中的卡尔丹公式解法,一元三次方程还有其它解法,列举如下:
1.因式分解法
因式分解法不是对所有的三次方程都适用,只对一些简单的三次方程适用.对于大多数的三次方程,只有先求出它的根,才能作因式分解。当然,对一些简单的三次方程能用因式分解求解的,当然用因式分解法求解很方便,直接把三次方程降次。 例如:解方程x^3-x=0 对左边作因式分解,得x(x+1)(x-1)=0,得方程的三个根:x1=0;x2=1;x3=—1。
2.一种换元法
对于一般形式的三次方程,先将方程化为x^3+px+q=0的特殊型。 令x=z—p/3z,代入并化简,得:z^3-p/27z+q=0。再令z=w,代入,得:w^2+p/27w+q=0.这实际上是关于w的二次方程。解出w,再顺次解出z,x。
3.导数求解法
利用导数,求的函数的极大极小值,单调递增及递减区间,画出函数图像,有利于方程的大致解答,并且能快速得到方程解的个数,此法十分适用于高中数学题的解答。 如f(x)=x^3+x+1,移项得x^3+x=-1,设y1=x^3+x,y2=-1, y1的导数y1'=3x^2+1,得y1'恒大于0,y1在R上单调递增,所以方程仅一个解,且当y1=-1时x在-1与-2之间,可根据f(x1)f(x2)<0的公式,无限逼近,求得较精确的解。
4.盛金公式法
三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程,虽然有著名的卡尔丹公式,并有相应的判别法,但使用卡尔丹公式解题比较复杂,缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式,并建立了新判别法.
参考资料: http://baike.baidu.com/view/521598.htm
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