Question

一道空间几何题

正方体ABCD的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H．则以下命题中，错误的命题是（ ）
A．点H是△A1BD的垂心 B．AH垂直平面CB1D1
C．AH的延长线经过点C1 D．直线AH和BB1所成角为45°

答案是D，为什么A对？

Answer 1

分析：是的。因为点A与平面A1BD是构成了一个正三棱锥，从点A作垂直于平面A1BD其实就是作三棱锥的高。而三角形A1BD是个正三角形，垂足就是三角形的中心，正三角形的重心、内心、外心、垂心都重合，称之为正三角形的中心。
至于AH与BB1所成角，分析可知是一个一直角边长为√3/3，另一直角边长为√6/6的直角三角形斜边上的高，不是等腰直角三角形，当然平角不是45°

Answer 2

因为三棱锥A-A1BD是正三棱锥，所以H为三角形A1BD的中心

Answer 3

三角形A1BD是正三角形，且AA1=AB=AD.所以三棱锥A-A1BD是正三棱锥，因此A在底面A1BD的投影刚好是垂心H（正三角形重心、内心、外心、垂心重和）

Answer 4

因为点H是△A1BD的中心。要证明的话可以用全等三角形来证明用三角形的三个顶点分别与点H连接起来。然后一直AH垂直于平面A1BD所以AH垂直于该平面内所有直线。所以就有AH⊥A1H，AH⊥BH，AH⊥DH。然后都有一个长度为1的斜边和公共边AH。所以就可以证明△AHA1≌△AHB≌△AHD。所以有HA1=HB=HD。又因为△A1BD是等边三角形所以点H就是三角形的中点。所以也是垂心。亦可用楼上的方法。