Question

求高数特解通解的问题

图片里的这个解案过程 我实在是不明白，能详细说明一下吗？

Answer 1

求微分方程(1+x²)y′-2xy=1+x²的通解
解：求解微分方程的第一要点是分离变量。只要分离了变量，剩下的工作就是积分问题。因此
求解微分方程最困难的事情就是分离变量。
用1+x²除原方程的两边得 y′-2xy/(1+x²)=1................(1)
这是一个典型的一阶微分方程。为了求这个方程的解，可先求解相应的齐次线性方程：
y′-2xy(1+x²)=0.........................................(2)
分离变量得 dy/y-[2x/(1+x²)]dx=0，即dy/y-[d(1+x²)/(1+x²)]=0
积分之得 lny-ln(1+x²)=lnC₁，即有 y/(1+x²)=C₁，也就是y=C₁(1+x²)
下面再用参数边易法求原方程(1)的解。这是把方程(2)的通解中的C₁换成x 的函数u而令
y=u(1+x²)..............(3)，于是dy/dx=(1+x²)(du/dx)+2ux..............(4)
将(3)和(4)代入(1)式得：(1+x²)(du/dx)+2ux-2ux=1
于是得 (1+x²)(du/dx)=1，再分离变量得 du=dx/(1+x²)，积分之即得 u=arctanx+C，C为积分常数
代入(3)式即得原方程的通解为 y=(1+x²)(arctanx+C).

Answer 2

一阶线性微分方程 直接套用公式
先等式两边同除以1+x^2 得 y'-2xy/(1+x^2) =1
利用公式 y=e^(-∫p(x)dx)(∫Q(x)e^（∫p(x)dx）dx+C)
本题中 P(x)=-2x/(1+x^2) Q(x)=1
可得y=e^(-∫-2x/(1+x^2) dx)(∫1e^（∫-2x/(1+x^2) dx）dx+C)
即 y=e^(ln(1+x^2))(arctanx+C) =(1+x^2) (arctanx+C) （这是通解，C是常数）

Answer 3

我也不明白，我也是天天做微分方程的题目。你用常规方法解好了。

Answer 4

(1+x^2)y'-2xy=1+x^2
y'- y*(2x/(1+x^2))=1
1.
y'-y*(2x/(1+x^2))=0
dy=y(2x/(1+x^2)dx
lny=ln(1+x^2)+C0
y=C1(1+x^2))
2
设y=C1(x)(1+x^2)
C1'(1+x^2)=1
dC1=dx/(1+x^2)
C1=arctanx+C2
y=(arctanx+C2)(1+x^2)