Question

三角函数问题

在三角形ABC中，已知(a²+b²)sin(A-B)=(a²-b²)sin(A+B)
证明：三角形ABC是等腰三角形或直角三角形

Answer 1

证明：因为(a²+b²)sin(A-B)=(a²-b²)sin(A+B)
所以a²[sin(A-B)-sin(A+B)]=-b²[sin(A+B)+sin(A-B)]
由和差公式化简得：
a²×(-2cosAsinB)=-b²(2sinAcoB)
即a²/b² × (cosAsinB)/(sinAcosB)=1 (*)
由正弦定理得a/sinA=b/sinB,即a/b=sinA/sinB
所以(*)式可化为：
sin²A/sin²B × (cosAsinB)/(sinAcosB）＝1
即sinAcosA/(sinBcosB)=1
sinAcosA=sinBcosB
sin2A=sin2B
所以2A＝2B或2A=π-2B
即A=B或A+B=π/2
所以三角形ABC是等腰三角形或直角三角形