Question

设f(x)定义在实数集上,当x>0时,f(x)>1,且对于任意实数x,y有f(x+y)=f(x)*f(y),求证f(x)在R上为增函数

Answer 1

其实这个就是一个指数函数模型啊。。
2011江苏高考考生为你解答。
令y=0 则f(x)=f(x+0)=f(x)*f(0)
所以f(0)=1
f(0)=f(x-x)=f(x)*f(-x)=1
所以f(x)=1/f(-x)
在R上任取x1>x2
f(x1-x2)=f(x1)*f(-x2)
f(-x2)=1/f(x2)
所以f(x1-x2)=f(x1)/f(x2) x1>x2所以x1-x2>0
所以f(x1-x2)=f(x1)/f(x2)>1所以f(x1)>f(x2)...所以单调增。。。

Answer 2

f(x+y)=f(x)*f(y),很容易联想到f(x)是指数函数
eg.f(x)=C^x 注：C是常数 x是自变量 一画图就看的出来啦
证明.f(x)=C^x 是增函数：
1‘.对f(x)=C^x 进行求导 得f`(x)=C^x *log(c)(e) c是底数在下面 e是自然常数在上面
2：当x>0有f`(x)=C^x *log(c)(e)>0恒成立
3：f(x)在定义域上单调递增

Answer 3

令x=0,y=0，得到f(0)=0,huo 1
令x=0,y=1,得到 f(1)=f(0)*f(1), f(1)>1,所以f(0)=1
令y=-x，f(x)*f(-x）=1,当x>0，f(x)=1/f(-x）>1,所以0<f(-x）<1,说明f(x)总是正的
设x=x1,y=x2-x1>0，即x2>x1,x1,x2属于R
f(x2)=f(x1)*f(x2-x1),
f(x2)/f(x1)=f(x2-x1)>1,
成立

Answer 4

△x>0
f(x+△x)=f(x)*f(△x),
f(x+△x)/f(x)=f(△x)>1
所以f(x)为增函数,