Question

已知，如图，在平行四边形ABCD中，BE，CF分别是∠ABC和∠BCD的平分线，BE,CF相交于点O

1（求 BE⊥CF 2）是判断AF与DE有何数量关系，并说明理由

Answer 1

一、∵BE平分∠ABC
∴∠EBC=1/2∠ABC
同理∠FCB=1/2∠BCD
平行四边形ABCD中，AB∥CD
∴∠ABC+∠BCD=180°
∴∠EBC+∠FCB=90°
∴∠BOC=90°∴BE⊥CF

相等
∵CF平分∠BCD
∴∠BCF=∠DCF
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD,AB=CD
∴∠BFC=∠BCF
∴BF=BC
同理可证BC=CE
∴AF=DE

小结：此题关键在于角平分线在平行四边形中能产生垂直和等腰三角形，注意把一只平分的角换成内错角产生等腰三角形（等角对等边），如果你做四个角的角平分线，若它们能交成一个图形，那一定是矩形

Answer 2

（1）证明： 因为 四边形ABCD是平行四边形，
所以 角ABC+角BCD=180度，
因为 BE、CF分别是角ABC、角BCD的平分线，
所以 角OBC=角ABC/2，角OCB=角 BCD/2，
所以 角OBC+角OCB=90度，
所以 角BOC=90度，
所以 BE垂直于CF。
（2）AF=DE。
理由是： 因为 四边形ABCD是平行四边形，
所以 AD//BC，AB=DC，
所以 角AEB=角EBC，角DFC=角FCB，
因为 BE、CF分别是角ABC和角BCD的角平分线，
所以 角ABE=角EBC，角DCF=角FCB，
所以 角AEB=角ABE，角DFC=角DCF，
所以 AE=AB，DF=DC，
因为 AB=DC，
所以 AE=DF，
所以 AF=DE。

Answer 3

∵BE平分∠ABC
∴∠EBC=1/2∠ABC
同理∠FCB=1/2∠BCD
平行四边形ABCD中，AB∥CD
∴∠ABC+∠BCD=180°
∴∠EBC+∠FCB=90°
△BCO中，∠BCO+∠BOC+∠CBO=180°，
∴∠BOC=90°
∴BE⊥CF

相等
∵CF平分∠BCD
∴∠BCF=∠DCF
平行四边形ABCD中，AB=CD,AD∥BC
∴∠CFD=∠FCB
∴∠DCF=∠CFD
∴DF=CD
同理，AE=AB
又∵AB=CD，∴AE=DF
∴AF=DE

Answer 4

一、∠ABC+∠BCD=180
1/2(∠ABC+∠BCD)=90
根据三角形内角和=180，得∠BOC=90
二、为∠ADC做条角平分线，剩下的你自己想