Question

问 高中数学 必修2 解析几何 直线与圆 两道题 希望尽快回答，谢谢！

1.已知：以点C(t,2/t)(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O和点A，与y轴交于点O和点B，其中点O为直角坐标系原点.设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N，若OM=ON，求圆C的方程.
2.设平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)=x²+2x+b(x∈R)的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C。求：
(1)b的取值范围；(我自己已求出，应该是b<1且b≠0吧)
(2)求圆C的方程；
(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论。
注：希望尽快给出解答，不必算出具体答案，只要给出思路就可以了，希望计算量不要太大，最近做解析几何总是下不了手，脑子中总是那些计算量很大的方法，希望有高手能指点迷津，感激不尽!
刚才有位大哥或大姐写了好多 好好的 怎么突然不见了...
呼叫那位大哥或大姐能不能再简略地回答一下 十分感谢!
那个 具体的答案真的没太大必要写出来 谢谢大家了！

Answer 1

1思路：MN与OC垂直，从而利用斜率，求出t的值，那么圆C的圆心及半径OC出来啦；
2思路：(1)b的取值范围；思路：数形结合，对称轴x=-1,发现与两坐标轴有三个交点的情形……总之，你是对的。
(2)求圆C的方程；思路：画出一个草图，发现圆心在对称轴x=-1上，设圆心坐标C为（0，c），记二次函数f(x)=x²+2x+b与x轴交点为A，B，与y轴交点为D,再求出A，B，D的坐标，从而利用AC=AD，求出c(被b表示出来)，那么圆心C及半径CD就搞定了，于是求圆C的方程就容易了，应该含有参数b吧。
(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论。待续

Answer 2

1、圆心：（2,1） 圆：（x-2）^2+（y-1）^2=5；
思路：MN┼OC，得t^2=4，因为直线只存在一二四界限，所以t=2，R=√5.

Answer 3

(1)设圆的半径为R,由圆过原点得方程t^2+t^2/4=R^2.....①;
又OM=ON知圆心在过原点且垂直于直线y=-2x+4上则可得方程②
解方程组可得t，R
(2)由二次函数f(x)=x²+2x+b(x∈R)的图像与两坐标轴有三个交点知f(x)=x²+2x+b(x∈R)的图像不过原点且与x轴有两个交点，即方程x²+2x+b=0有两个非零实数根，可求得b的取值范围；把b作为已知，经过三点可求圆的方程；由第二问圆的方程不难分析是否圆过定点（与b无关）

Answer 4

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