Question

如图,直角三角形ABC中,角BAC=90度,AB=AC,D为BC中点,E为AC上一点,连结BE，AG⊥BE与G延长DG于AC交于F

1 .求证。2BD²=BG *BE
2 .求证。角FGE=45°
3 .若E为AC中点，AB=6，求EF的长
现在只需要想一下第三问就可以了，拜托拜托。

Answer 1

1.在直角三角形BAE中有直角三角形BGA，所以三角形BAE相似于BGA相似于 AGE

所以BG/BA=BA/BE 所以BA²=BG*BE

连接AD，由三线合一得∠BDA=90，所以有勾股定理BA²=BD²+AD²=2BD² 

所以BG*BE=2BD²

2.由①得BD*2BD=BG*BE

因为BC=2BD，所以BD*BC=BG*BE

所以有相似比BD/BE=BG/BC

夹公共角EBC  所以三角形BDG相似于BEC（SAS)

所以对应角相等 即∠BGD=∠BCE=45°

所以对顶角FGE=45°

3.把直角三角形AGE拿出这个图形中，制成一个模型如图（图中有辅助线说明）

设EF=x

显然三角形AHF相似于EQF

所以AF/EF①=AH/EQ②

①=AE-EF/EF=3-X/X

因为∠FGE=FGA=45，∠EQG=AHG=90

所以有两个等腰直角三角形

所以2AH²=AG² 所以AH=(√2*AG)/2,同理QE=（√2*GE)/2

所以②AH/QE=AG/GE

由相似得AG/GE=BA/AE=2

因为①＝②

所以3-X/X=2

解得EF=X=1

Answer 2

(1)AE=EC=1/2AC=1/2AB=3
(2)BE^2=AB^2+AE^2=36+9=45
BE=3√5
(3)AG*BE=BA*AE
AG=BA*AE/BE=6*3/(3√5)=6/5*√5
(4)GE^2=AE^2-AG^2=9-36/5=9/5
GE=3/5*√5
(6)作DH平行于AC,交BE于H点，
BH=HE=1/2BE=3/2*√5
(7)HG=HE-GE=3/2*√5-3/5*√5=9/10*√5
(8)GD=1/2EC=1/2*3=1.5
(9)FE:GD=EG:HG
FE:1.5=3/5*√5:9/10*√5
FE:1.5=2:3
FE=1.5*2/3
FE=1
欢迎采纳，
轻松一下！
\(^o^)/~

Answer 3

直角三角形ABC中,角BAC=90度,AB=AC,D为BC中点，所以BC=根号2倍的AB,因为AG⊥BE，三角形ABE相似于三角形ABG,所以AB/BE=BG/AB,AB^2=BE*BG=2BC^2
因为2BD²=BG *BE，所以BD*BC=BG*BE,三角形BGD相似三角形BCE,所以角BGD=角C=角FGE=45
链接链接DE，延长DF,BA,相较于H，所以DE//AH,所以可求出BH=12，AH=6，因为三角形AFH相似于三角形DFE,可求出EF=1