行列式中，abc为互异实数，证明|1 1 1||a b c||a^3 b^3 c^3|=0的充要条件是a+b+c=0
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证明: 等式左边行列式记为D.
考虑Vandermonde行列式D1
1 1 1 1
a b c x
a^2 b^2 c^2 x^2
a^3 b^3 c^3 x^3
= (b-a)(c-a)(c-b)(x-a)(x-b)(x-c).
直接计算其x^2的系数为: (b-a)(c-a)(c-b)(-a-b-c).
另一方面, 观察D1, 其x^2的系数恰为 A34=(-1)^(3+4)M34 = -D.
[考虑D1按第4列展开]
所以 D = (a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b)
由a,b,c为互异实数, 所以D=0的充要条件是a+b+c=0.
[注: 行列式D可用性质化三角形行列式,这里提供另一方法计算它.
若是高阶, 此方法更显有用]
考虑Vandermonde行列式D1
1 1 1 1
a b c x
a^2 b^2 c^2 x^2
a^3 b^3 c^3 x^3
= (b-a)(c-a)(c-b)(x-a)(x-b)(x-c).
直接计算其x^2的系数为: (b-a)(c-a)(c-b)(-a-b-c).
另一方面, 观察D1, 其x^2的系数恰为 A34=(-1)^(3+4)M34 = -D.
[考虑D1按第4列展开]
所以 D = (a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b)
由a,b,c为互异实数, 所以D=0的充要条件是a+b+c=0.
[注: 行列式D可用性质化三角形行列式,这里提供另一方法计算它.
若是高阶, 此方法更显有用]
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