Question

一道函数的题目

已知α，β是方程4x^2-4kx-1=0 (k∈R)的两个不等实数根，函数f(x)=(2x-k)/(x^2+1)的定义域为[α，β].
(1)判断函数f(x)在定义域内的单调性，并证明；
（2）记g(x)=maxf(x)-minf(x),若对任意k∈R,恒有g(k)≤a*√(1+k^2)成立，求实数a的取值范围。

要详细过程 或者讲出详细的思路 计算我自己来

Answer 1

已知α、β是方程4x2－4kx－1＝0(k∈R)的两个不等实根，函数f(x)＝2x－kx2＋1的定义域为[α，β]．
(1)判断函数f(x)在定义域内的单调性，并证明；
(2)记：g(k)＝f(x)max－f(x)min，若对任意k∈R，恒有g(k)≤a1＋k2成立，求实数a的取值范围．
解：(1)法一：设α≤x1<x2≤β，则4x21－4kx1－1≤0,4x22－4kx2－1≤0,4(x21＋x22)－4k(x1＋x2)－2≤0，
∴2x1x2－k(x1＋x2)－12<0，
则f(x2)－f(x1)＝2x2－kx22＋1－2x1－kx21＋1
＝x2－x1[kx1＋x2－2x1x2＋2]x21＋1x22＋1.
又k(x1＋x2)－2x1x2＋2>k(x1＋x2)－2x1x2＋12>0，
∴f(x2)－f(x1)>0，
故f(x)在区间[α，β]上是增函数．
法二：f′(x)＝－2x2＋2kx＋2x2＋12，
x∈[k－k2＋12，k＋k2＋12]，
易知：当x∈[α，β]时，4x2－4kx－1≤0，
∴－2x2＋2kx＋2≥32，
∴f′(x)>0，故f(x)在区间[α，β]上是增函数．
(2)g(k)＝f(β)－f(α)
＝k2＋116k2＋4016k2＋25≤a1＋k2恒成立．
a≥16k2＋4016k2＋25＝1＋1516k2＋25，
考虑1516k2＋25的最大值为35，∴a≥85.

追问

f′(x)＝－2x2＋2kx＋2x2＋12，
x∈[k－k2＋12，k＋k2＋12] 这一步是怎么推算出来的啊

Answer 2

个人认为这种题做出来花费很多时间……
不要让计算来吓人~~~

http://zhidao.baidu.com/question/107623066.html
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