Question

已知定义在(-无穷,3】上的单调减函数f(x),使得

已知定义在(-无穷,3】上的单调减函数f(x), 使得f（a的平方-sinx）≤f（a+1+cosx的平方）对于一切实数x均成立，求a的取值范围

Answer 1

解：
由题意可得：
{a²－sinx≤3
{a＋1＋cos²x≤3
{a²－sinx≥a＋1＋cos²x
恒成立

即
{a²≤3＋sinx
{a≤2－cos²x
{a²－a－9/4≥－(sin－1/2)²
对x∈R恒成立

故
{a²≤2
{a≤1
{a²－a－9/4≥－(sin－1/2)max²

∴－√2≤a≤(1－√10)/2

追问

a²≤3＋sinx 到 a²≤2 这个是怎么得来的？

a≤2－cos²x 到 a≤1 这个呢。 不会算！！ 诶诶

追答

这是利用函数的单调性，转化为最值问题解决，OK?

Answer 2

首先自变量必须在定义域内,所以a^2-sinx<=3,a+1+cosx^2<=3对任意x成立，
于是a<=1
再由递减性，知a^2-sinx>=a+1+cosx^2，得到(sinx-1/2)^2+a^2-a-9/4>=0对任意x成立，于是a^2-a-9/4>=0，解得a>=(1+√10)/2或a<=(1-√10)/2
综上，a<=(1-√10)/2