Question

在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c，如图1，若∠C=90°，根据勾股定理得a²+b²=c²；如图2和图3，若

若△ABC不是直角三角形，请你类比勾股定理，试猜想a²+b²和c²的关系，并证明你的理论。

Answer 1

若∠C<90°，作AH⊥BC，垂足为H
则a^2+b^2=(BH+CH)^2+AH^2+CH^2=AH^2+BH^2+2BH*CH+2CH^2=c^2+2CH(BH+CH)>c^2
（右边的2BH*CH+2CH^2化成什么样不重要，重要的是由此得出a^2+b^2>c^2）
若∠C>90°，作AH⊥BC，垂足为H
则a^2+b^2=BC^2+CH^2+AH^2=AH^2+(BC+CH)^2-2BC*CH<AH^2+BH^2=c^2
∴a^2+b^2<c^2

Answer 2

c²=a²+b²-2abcosC
这是个余弦定理，当C=90°时，就是勾股定理了

Answer 3

若∠C<90°，作AH⊥BC，垂足为H
则a^2+b^2=(BH+CH)^2+AH^2+CH^2=AH^2+BH^2+2BH*CH+2CH^2=c^2+2CH(BH+CH)>c^2
（右边的2BH*CH+2CH^2化成什么样不重要，重要的是由此得出a^2+b^2>c^2）
若∠C>90°，作AH⊥BC，垂足为H
则a^2+b^2=BC^2+CH^2+AH^2=AH^2+(BC+CH)^2-2BC*CH<AH^2+BH^2=c^2
∴a^2+b^2<c^2