Question

高为根号2/4的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S.A.B.C.D.均在半径为1的同一球面上，则

高为根号2/4的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S.A.B.C.D.均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为多少。11年重庆高考理数来的

Answer 1

令AC与BD的交点为E，过S作平面K∥面ABCD，再过E作EF⊥平面K交平面K于F。
由平行平面间处处等距离，可知：EF＝S到面ABCD的距离＝√2/4。
令S－ABCD的外接球球心为O。
一、证明：点O在EF的延长线上。
1、点O显然不与F重合。
　　若重合，则由勾股定理，有：FA^2＝EF^2＋EA^2。
　　而FA＝1，容易算出：EA＝AC/2＝√2AB/2＝√2/2，得：EF＝√［1－（√2/2）^2］＝√2/2。
　　这与EF＝√2/4矛盾。
2、点O若在FE的延长线上，则由勾股定理，有：OA^2＝OE^2＋EA^2。
　　而OA＝1，EA＝√2/2，∴OE＝√［1－（√2/2）^2］＝√2/2。
　　∴OE＋EF＝√2/2＋√2/4＝3√2/4＞1，即OF＞1，这说明点F在球O外面，自然是不合理的。
由上述的1、2，得：点O在EF的延长线上。

二、证明：F是OE的中点。
由勾股定理，有：OA^2＝OE^2＋EA^2。
而OA＝1，EA＝√2/2，∴OE＝√［1－（√2/2）^2］＝√2/2，又EF＝√2/4.
∴点F是OE的中点。

三、计算S到ABCD中心的距离。
连结SF。
∵EF⊥平面K，∴SF⊥EF，又OF＝EF，∴S在OE的垂直平分线上，∴SE＝SO＝1。
∵ABCD是正方形，且E是AC与BD的交点，∴E是ABCD的中心，
∴S到ABCD中心的距离为1。