Question

“函数f(x)=1/3ax^3+1/2ax^2-2ax+2a+1的图像经过四个象限的一个充分必要条件是”

“显然 a不为0.
f '(x)=ax^2+ax-2a=a(x-1)(x+2)
令f '(x)=0得极值点 x1=-2，x2=1
1) a>0。f(x)在（-∞，-2）上增，在（-2，1）上减，在（1，+∞）上增，
所以，只须 ｛f(-2)>0
{f(1)<0
即 -8a/3+2a+4a+2a+1>0且 a/3+a/2-2a+2a+1<0
解得 a>-3/16 且 a<-6/5
结合a>0知，此种情况不成立。
2)a<0。f(x)在（-∞，-2）上减，在（-2，1）上增，在（1，+∞）上减，
所以，只须 ｛f(-2)<0
{ f(1)>0
即 -8a/3+2a+4a+2a+1<0且 a/3+a/2-2a+2a+1>0
解得 -6/5<a<-3/16
综上可得，函数f(x)=1/3ax^3+1/2ax^2-2ax+2a+1的图像经过四个象限的一个充分必要条件是：
-6/5<a<-3/16。 ”
问：（1）怎么引出f '(x)=ax^2+ax-2a这个函数的呢，为什么要引出它
（2）为什么由f '(x)的极值可以得出f(x)的增减区间呢

Answer 1

“显然 a不为0.
f '(x)=ax^2+ax-2a=a(x-1)(x+2)
令f '(x)=0得极值点 x1=-2，x2=1
1) a>0。f(x)在（-∞，-2）上增，在（-2，1）上减，在（1，+∞）上增，
所以，只须 ｛f(-2)>0
{f(1)<0
即 -8a/3+2a+4a+2a+1>0且 a/3+a/2-2a+2a+1<0
解得 a>-3/16 且 a<-6/5
结合a>0知，此种情况不成立。
2)a<0。f(x)在（-∞，-2）上减，在（-2，1）上增，在（1，+∞）上减，
所以，只须 ｛f(-2)<0
{ f(1)>0
即 -8a/3+2a+4a+2a+1<0且 a/3+a/2-2a+2a+1>0
解得 -6/5<a<-3/16
综上可得，函数f(x)=1/3ax^3+1/2ax^2-2ax+2a+1的图像经过四个象限的一个充分必要条件是：
-6/5<a<-3/16。 ”
问：（1）怎么引出f '(x)=ax^2+ax-2a这个函数的呢，为什么要引出它
（2）为什么由f '(x)的极值可以得出f(x)的增减区间呢

追问

（1）怎么引出f '(x)=ax^2+ax-2a这个函数的呢，为什么要引出它
（2）为什么由f '(x)的极值可以得出f(x)的增减区间呢

Answer 2

f '(x)=0的点为f(x)的极值点。若在某区间内，f '(x)>0，则在此区间f(x)递增；若在某区间内，f '(x)<0，则在此区间f(x)递减

追问

怎么引出f '(x)=ax^2+ax-2a这个函数的呢

追答

你应该是高一的吧，导数可能还没学，这道题目有点超纲了。以后会遇到的，导数是为了求极值点、判断函数单调性。几何意义，在某点的导数就是那点的切线的斜率