Question

求二次函数y=ax²+4a²x+1（-2≤x≤4）的最小值

Answer 1

对称轴x=-4a
分4种情况讨论
1. a<-1时，x=-4a>4
抛物线开口向下，x=-2时，y最小=4a-8a²+1
2. -1≤a<0 抛物线开口向下
0<-4a≤4，x=4时，y最小=16a+16a²+1
3. 0<a≤1/2时，抛物线开口向上
-2≤-4a<0，x=-4a时，y最小=1
4. a>1/2时，抛物线开口向上
-4a<-2，x=-2时，y最小=4a-8a²+1
你需要结合图才能搞清楚。
希望能帮到你，祝学习进步O(∩_∩)O

Answer 2

二次函数a≠0
对称轴x0=-2a
(1) -2a<=-2 a>=1 开口向上
f(x)min=f(-2)=-8a^2+4a+1
(2)-2<-2a<0 0<a<1 开口向上
f(x)min=f(-2a)=-4a^3+1
(3)0<-2a<1 -1/2<a<0 开口向下
f(x)min=f(4)=16a^2+16a+1
(4)1<=-2a<=4 -2<=a<=1/2 开口向下
f(x)min=f(-2)=-8a^2+4a+1
(5)4<-2a a<=-2 开口向下
f(x)min=f(-2)=-8a^2+4a+1

Answer 3

考虑抛物线的对称轴 x= -2a 关于区间[-2,4]的位置，
1. 当 -2a<-2 即 a>1 抛物线开口向上，抛物线的对称轴在-2 的左边，即最小值在x=-2处取到。
2. 当-2<-2a<4 即 -2<a<1, 分两种情况考虑
a. 当 -2<a<0时，抛物线开口向下，因抛物线的对称轴在[-2,4]之间，所以最小值是min (y(-2), y(4))。
b. 当0<a<1时，抛物线开口向上，因抛物线的对称轴在[-2,4]之间，所以最小值在x=-2a取到。
3. 当-2a>4 即 a< -2, 抛物线靠口向下，抛物线的对称轴在4的右边，所以最小值在x=-2处取到