Question

已知f(x)=2x－a／x²+2（x∈R）在区间[-1,1]上是增函数，（1）求实数a的值组成的集合A

（2）设关于x的方程f(X)=1／x的两个非零实根为x1,x2,试问：是否存在实数m，使得不等式m²+tm+1≧|x1－x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立？若存在，求m的取值范围，若不存在，请说明理由。
（要很详细的过程哦，我明年就要高考了，请大家帮帮忙，解决我的数学问题，O(∩_∩)O谢谢啦）

Answer 1

（1）求导得f'(x)=-2x²+2ax+4/(x²+2）²
由题意f'（x）≥0在x∈[-1,1]上恒成立
即不等式x²-ax-2≤0恒成立.因此-a-1≤0且a-1≤0
因此a∈[-1,1]，所以集合A=[-1,1]
（2）由题意x1,x2是方程f（x)=1/x及方程x²-ax-2=0两个非零实根.
由韦达定理得x1+x2=a,x1x2=-2.所以|x1－x2|=根号下a²+8≤3
因此不等式式m²+tm+1≧|x1－x2|恒成立等价于m²+tm+1≧3
又因为t∈[-1,1].因此m²+m-2≥0且m²-m-2≥0
解得m≥2或m≤-2

追问

那第一问的对称轴不用分类讨论吗，（1）在-1左边时（2）在1右边时，（3）在（-1,1）里面时

追答

第一问是最大值不大于0，而且二次函数开口向上，最大值肯定在端点处取得