已知函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)满足f(0)=0,对于任意x∈R都有f(x)≧x,且f(-1/2+x)=f(-1/2-x),令
g(x)=f(x)-|λx-1|(λ〉0)(1)求函数f(x)的表达式(2)求函数g(x)的单调区间(3)研究1函数g(x)在区间(0,1)上的零点个数(要详细的过程哦,...
g(x)=f(x)-|λx-1|(λ〉0)
(1)求函数f(x)的表达式
(2)求函数g(x)的单调区间
(3)研究1函数g(x)在区间(0,1)上的零点个数
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(1)求函数f(x)的表达式
(2)求函数g(x)的单调区间
(3)研究1函数g(x)在区间(0,1)上的零点个数
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已知函数f(x)=ax²+bx+c (a≠0)满足f(0)=0,对于任意x∈R都有f(x)≥x,且f(-1/2+x)=f(-1/2-x),令g(x)=f(x)-|λx-1| (λ>0)
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)求函数g(x)的单调区间;
(3)研究函数g(x)在区间 (0, 1)上的零点个数。
解:
(1)因为f(0)=0,所以c=0.
因为f(-1/2+x)=f(-1/2-x)对任意x∈R成立,对称轴为-1/2,
即-b/纯拦谈(2a)=-1/2,a=b。
设h(x)=f(x)-x,则h(x)=a*x^2+(b-1)x
f(x)≥x恒成立,即h(x)≥0恒成立,从而h(x)的判别式Δ≤0,即(b-1)^2≤0,所以b=1.
故f(x)=x^2+x。
(2)令|λx-1|=0得:x=1/λ。因为λ>0,所以1/λ>0>-(1+λ)/2。
当x<1/λ时,
g(x)=f(x)+(λx-1)=x^2+(1+λ)x-1=[x+(1+λ)/2]^2-1-(1+λ)^2/4;
所以,g(x)在区间(-∞, -(1+λ)/2]内单调递减;在区间(-(1+λ)/2, 1/λ]内单调递增。
当x≥1/λ时,
g(x)=f(x)-(λx-1)=x^2+(1-λ)x+1=[x-(λ-1)/2]^2+1-(1-λ)^2/4;;
令1/λ=(λ-1)/2,得λ=-1(舍去)或λ=2。
若0<λ≤2,此时(λ-1)/2≤1/λ,g(x)在区间(1/λ, +∞)内单调递增。
若λ>2,此时(λ-1)/2>1/λ,g(x)在区间(1/λ, (λ-1)/2]内单调递减;在区间((λ-1)/2, +∞)内单调递增。
(3)当x≤1/λ时,g(x)=[x+(1+λ)/2]^2-1-(1+λ)^2/4;
因为g(1/λ)=f(1/λ)=1/λ^2+1/λ>0,
g(-(1+λ)/2)=-1-(1+λ)^2/4<0;
故g(x)在区间(-∞, 1/λ)内有两个零点。(一个零点<-(1+λ)/2<0)
由于g(0)=-1<0,故有一个做碰零点在(0, 1/λ)内。
如果1/λ<1,该衡历零点当然在区间(0, 1)内;
如果1/λ≥1,g(1)=1+λ>0>g(0),该零点也在区间(0, 1)内。
当x≥1/λ时,g(x)=[x-(λ-1)/2]^2+1-(1-λ)^2/4;
若0<λ<2,g(x)在区间(1/λ, +∞)内单调递增,因为g(1/λ)>0,故在区间(1/λ, +∞)内没有零点。
若λ≥2,g(x)在区间(1/λ, +∞)内的最小值为g((λ-1)/2)=1-(1-λ)^2/4。
令1-(1-λ)^2/4=0得,λ=3。(舍去λ=-1)
如果2≤λ<3,1-(1-λ)^2/4>0,g(x)在区间(1/λ, +∞)内没有零点。
如果λ=3,1-(1-λ)^2/4=0,g(x)在区间(1/λ, +∞)内有唯一一个零点x=1,不在区间(0, 1)内。
如果λ>3,1-(1-λ)^2/4<0,g(x)在区间(1/λ, +∞)内有两个零点。1/λ<1,由于g(1)=-λ<0<g(1/λ),即其中一个零点在区间(1/λ, 1)内,故g(x)在区间(0, 1)内有第二个零点。
综上所述,
当λ>3时,g(x)在区间(0, 1)有2个零点;
当λ≤3时,g(x)在区间(0, 1)有1个零点。
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)求函数g(x)的单调区间;
(3)研究函数g(x)在区间 (0, 1)上的零点个数。
解:
(1)因为f(0)=0,所以c=0.
因为f(-1/2+x)=f(-1/2-x)对任意x∈R成立,对称轴为-1/2,
即-b/纯拦谈(2a)=-1/2,a=b。
设h(x)=f(x)-x,则h(x)=a*x^2+(b-1)x
f(x)≥x恒成立,即h(x)≥0恒成立,从而h(x)的判别式Δ≤0,即(b-1)^2≤0,所以b=1.
故f(x)=x^2+x。
(2)令|λx-1|=0得:x=1/λ。因为λ>0,所以1/λ>0>-(1+λ)/2。
当x<1/λ时,
g(x)=f(x)+(λx-1)=x^2+(1+λ)x-1=[x+(1+λ)/2]^2-1-(1+λ)^2/4;
所以,g(x)在区间(-∞, -(1+λ)/2]内单调递减;在区间(-(1+λ)/2, 1/λ]内单调递增。
当x≥1/λ时,
g(x)=f(x)-(λx-1)=x^2+(1-λ)x+1=[x-(λ-1)/2]^2+1-(1-λ)^2/4;;
令1/λ=(λ-1)/2,得λ=-1(舍去)或λ=2。
若0<λ≤2,此时(λ-1)/2≤1/λ,g(x)在区间(1/λ, +∞)内单调递增。
若λ>2,此时(λ-1)/2>1/λ,g(x)在区间(1/λ, (λ-1)/2]内单调递减;在区间((λ-1)/2, +∞)内单调递增。
(3)当x≤1/λ时,g(x)=[x+(1+λ)/2]^2-1-(1+λ)^2/4;
因为g(1/λ)=f(1/λ)=1/λ^2+1/λ>0,
g(-(1+λ)/2)=-1-(1+λ)^2/4<0;
故g(x)在区间(-∞, 1/λ)内有两个零点。(一个零点<-(1+λ)/2<0)
由于g(0)=-1<0,故有一个做碰零点在(0, 1/λ)内。
如果1/λ<1,该衡历零点当然在区间(0, 1)内;
如果1/λ≥1,g(1)=1+λ>0>g(0),该零点也在区间(0, 1)内。
当x≥1/λ时,g(x)=[x-(λ-1)/2]^2+1-(1-λ)^2/4;
若0<λ<2,g(x)在区间(1/λ, +∞)内单调递增,因为g(1/λ)>0,故在区间(1/λ, +∞)内没有零点。
若λ≥2,g(x)在区间(1/λ, +∞)内的最小值为g((λ-1)/2)=1-(1-λ)^2/4。
令1-(1-λ)^2/4=0得,λ=3。(舍去λ=-1)
如果2≤λ<3,1-(1-λ)^2/4>0,g(x)在区间(1/λ, +∞)内没有零点。
如果λ=3,1-(1-λ)^2/4=0,g(x)在区间(1/λ, +∞)内有唯一一个零点x=1,不在区间(0, 1)内。
如果λ>3,1-(1-λ)^2/4<0,g(x)在区间(1/λ, +∞)内有两个零点。1/λ<1,由于g(1)=-λ<0<g(1/λ),即其中一个零点在区间(1/λ, 1)内,故g(x)在区间(0, 1)内有第二个零点。
综上所述,
当λ>3时,g(x)在区间(0, 1)有2个零点;
当λ≤3时,g(x)在区间(0, 1)有1个零点。
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