Question

求解x+根号下x^2-1的值域

Answer 1

解：
可以看出：当x趋近于+∞ 时，函数值也趋近于+∞，因此函数值域的上限为+∞.
y=x+√(x^2-1)
x^2-1≥0,
解得定义域为：
x~(-∞,-1]U[1,+∞)
对y求导并令y'≥0:
y'=1+x/[√(x^2-1)]=[√(x^2-1)+x]/[√(x^2-1)]≥0
因此得到：
√(x^2-1)+x≥0
则有：
√(x^2-1)≥-x
可知：
当 x≥1 时，-x<0,因此原式恒成立。故y的一个增区间为：
x~[1,+∞)
当 x≤-1 时,-x>0,两边同时平方得：
x^2-1≥x^2
解得：-1≥0
故解集为空集。
所以综上可得：
y的增区间为：x~[1,+∞)
y的减区间为：x~(-∞,-1]
y(-1)= -1+0=-1
y(1)=1+0=1
因此最小值为：
ymin=y(-1)= -1
又因为已经得出y的值域上限为+∞,故综上可得函数y的值域为：
y~[-1,+∞)
希望对楼主有帮助，如果还有不清楚的地方再跟我说吧

Answer 2

y=x+√(x^2-1),定义域x>=1或x<=-1
当x>=1时，函数x与x^2-1都是增函数，
所以该函数是增函数，
此时当x=1时，函数y取到最小值1，y≥1.

当x<=-1时，
y=[x-√(x^2-1)][x+√(x^2-1)]/[x-√(x^2-1)]
=1/[x-√(x^2-1)],
当x<=-1时，函数x^2-1是减函数，-√(x^2-1)是增函数，
从而可知x-√(x^2-1)是增函数，
此时当x=-1时，函数x-√(x^2-1)取到最大值-1.
所以-1≤1/[x-√(x^2-1)]<0.

综合以上两种情况，所以函数值域是{y| y≥1或-1≤y<0}

Answer 3

定义域x≥1
这个时候x^2-1是增函数
这个函数也是增函数，所以x=1时取最小值1
值域【1，正无穷大】