Question

已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，当x属于（0，1）时，f(x)=2^x/(4^x+1)

(1)求f(x)在[-1,1]上的解析式；（2）判断f(x)在（0,1）上的单调性，并给予证明。（3）当M为何值时，关于X的方程f(x)=M在-1≤x≤1上有实数解？

Answer 1

(1) x∈(-1, 0) -x∈(0, 1) f(-x)= 2^(-x)/(4^(-x) + 1) = 2^x/(4^x+1)
由于奇函数，f(-x) = -f(x) = 2^x/(4^x+1). 所以f(x) = -2^x/(4^x+1)
另外由于奇函数，所以f(0) = f(-0) = - f(0) = 0
由于周期函数f(1) = f(-1) = -f(1) = 0
所以解析式为
-2^x/(4^x+1) x∈(-1, 0)
f(x) = 2^x/(4^x+1) x∈(0, 1)
0 x=-1,0,1
(2)单调性f(x) = 2^x/(4^x+1) x∈（0,1）令 t = 2^x 则t∈(1，2)，且t的对x单调递增
原式化为 f(t) = t/(t^2+1)
学过导数的话可以直接求导了， f'(t) = (t^2+1-2t^2)/(t^2+1)^2 = (1-t^2)/(t^2+1)^2< 0
所以在（0,1）上单调递减
如果没有学过导数，则选t'>t f(t') - f(t) = t'/(t'^2+1) - t/(t^2+1) = ( tt'-1)(t-t')/(t^2+1)(t^2+1) <0
所以随着t增大f(t)减小，单调递减
(3)令 t = 2^x, 有 t∈(1/2, 2),f(t) = t/(t^2+1) =M
整理有Mt^2 -t+M=0
若M=0，t=0,所以x无解
所以必定是二次方程， b^2-4ac = 1-4M^2>=0 有M ∈[-1/2， 1/2]
其两根为 x1 = 1-(1-4M^2)^1/2 / 2M和x2 = 1-(1-4M^2)^1/2 / 2M
1>=1-4M^2所以1+(1-4M^2)^1/2 > 1-(1-4M^2)^1/2 > 0, 所以M>0
若x1∈(1/2, 2), 1/2<(1+(1-4M^2)^1/2)/2M<2 解得 M∈(2/5, 1/2]
若x2∈(1/2, 2), 1/2<(1-(1-4M^2)^1/2)/2M<2 解得 M∈(2/5, 1/2]
所以当M∈(2/5, 1/2] f(x) = M有解
所以要M有实数解要求m∈(2/5, 1/2]

Answer 2

解：（1）∵f（x）是x∈R上的奇函数，
∴f（0）=0．
又∵2为最小正周期，
∴f（1）=f（1-2）=f（-1）=-f（1）=0．
设x∈（-1，0），则-x∈（0，1），f(-x)=
2-x4-x+1
=
2x4x+1
=-f(x)，
∴f(x)=-
2x4x+1
，
∴f(x)=
-
2x4x+1，x∈(-1，0)0，x∈{-1，0，1}2x4x+1，x∈(0，1).

（2）设0＜x1＜x2＜1，
f（x1）-f（x2）=
(2x1-2x2)+(2x1+2x2-2x2+2x1)(4x1+1)(4x2+1)
=
(2x1-2x2)(1-2x1+x2)(4x1+1)(4x2+1)
＞0，
∴f（x）在（0，1）上为减函数．

(3)令 t = 2^x, 有 t∈(1/2, 2),f(t) = t/(t^2+1) =M
整理有Mt^2 -t+M=0
若M=0，t=0,所以x无解
所以必定是二次方程， b^2-4ac = 1-4M^2>=0 有M ∈[-1/2， 1/2]
其两根为 x1 = 1-(1-4M^2)^1/2 / 2M和x2 = 1-(1-4M^2)^1/2 / 2M
1>=1-4M^2所以1+(1-4M^2)^1/2 > 1-(1-4M^2)^1/2 > 0, 所以M>0
若x1∈(1/2, 2), 1/2<(1+(1-4M^2)^1/2)/2M<2 解得 M∈(2/5, 1/2]
若x2∈(1/2, 2), 1/2<(1-(1-4M^2)^1/2)/2M<2 解得 M∈(2/5, 1/2]
所以当M∈(2/5, 1/2] f(x) = M有解
所以要M有实数解要求m∈(2/5, 1/2]

Answer 3

1) x∈(-1, 0) -x∈(0, 1) f(-x)= 2^(-x)/(4^(-x) + 1) = 2^x/(4^x+1)
由于奇函数，f(-x) = -f(x) = 2^x/(4^x+1). 所以f(x) = -2^x/(4^x+1)
另外由于奇函数，所以f(0) = f(-0) = - f(0) = 0
由于周期函数f(1) = f(-1) = -f(1) = 0
所以解析式为
-2^x/(4^x+1) x∈(-1, 0)
f(x) = 2^x/(4^x+1) x∈(0, 1)
0 x=-1,0,1
(2)单调性f(x) = 2^x/(4^x+1) x∈（0,1）令 t = 2^x 则t∈(1，2)，且t的对x单调递增
原式化为 f(t) = t/(t^2+1)
学过导数的话可以直接求导了， f'(t) = (t^2+1-2t^2)/(t^2+1)^2 = (1-t^2)/(t^2+1)^2< 0
所以在（0,1）上单调递减
如果没有学过导数，则选t'>t f(t') - f(t) = t'/(t'^2+1) - t/(t^2+1) = ( tt'-1)(t-t')/(t^2+1)(t^2+1) <0
所以随着t增大f(t)减小，单调递减
(3)令 t = 2^x, 有 t∈(1/2, 2),f(t) = t/(t^2+1) =M
整理有Mt^2 -t+M=0
若M=0，t=0,所以x无解
所以必定是二次方程， b^2-4ac = 1-4M^2>=0 有M ∈[-1/2， 1/2]
其两根为 x1 = 1-(1-4M^2)^1/2 / 2M和x2 = 1-(1-4M^2)^1/2 / 2M
1>=1-4M^2所以1+(1-4M^2)^1/2 > 1-(1-4M^2)^1/2 > 0, 所以M>0
若x1∈(1/2, 2), 1/2<(1+(1-4M^2)^1/2)/2M<2 解得 M∈(2/5, 1/2]
若x2∈(1/2, 2), 1/2<(1-(1-4M^2)^1/2)/2M<2 解得 M∈(2/5, 1/2]
所以当M∈(2/5, 1/2] f(x) = M有解
所以要M有实数解要求m∈(2/5, 1/2]