Question

高中数学排列问题

把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的数表，其中，第i行共有2ˆi﹣1个正整数。设a¸ij
1
2 3
4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14 15
(Ⅰ)若a¸ij=2010,求i和j的值
(Ⅱ)记A¸n=a¸11+a¸22+a¸33+…+a¸nn(n∈N﹚,试比较A¸n与n²﹢n的大小，并说明理由。

Answer 1

（1）数表中前n行共有1+2+2^2+2^(n-1=n^2-1个数
则第i行的第一个数是2i-1
所以a¸ij=2^(i-1)+j-1
因为2^10<2010<2^11,且a¸ij=2010
所以i=11．
则有2^10+j-1=2010
解得j=987
（2）∵An=a11+a22+a33+…+ann
=[1+2+2^2+……+2^(n-1)]+[1+2+……+（n-1）]
=2^n-1+n(n-1)/2
所以A¸n-n²﹢n=2^n-(n^2+3n+2)/2
当n≤4时，易知A¸n<n^2+n
当n≥4时，猜想：A¸n>n^2+n
①当n=4时，不等式显然成立，
②假设当n=k（k≥4）时，猜想成立，即2^k>(k^2+3k+2)/2
当n=k+1时，2^(k+1)=2*(k^2+3k+2)/2=k^2+3k+2
因为k^2+3k+2-[（k+1)^2+3(k+1)+2]/2=(k+2)(k-1)>0
则2^(k+1)> [（k+1)^2+3(k+1)+2]/2，
即当n=k+1时，猜想也正确．
由①、②得当n≥4时， 成立．
当n≥4时，An＞n2+n．
综上所述，当n=1，2，3时，An＜n2+n；当n≥4时，An＞n2+n．